Nombres complexes et géométrie
Cours
Démontrer que trois points sont alignés, qu'un triangle est rectangle ou équilatéral, construire un carré ou un hexagone : en géométrie, ces questions demandent souvent des constructions astucieuses. Avec les nombres complexes, elles se ramènent à un seul calcul : un quotient d'affixes, dont on lit le module et l'argument. Les racines de l'unité, elles, décrivent les polygones réguliers et sont au cœur de la transformation de Fourier qui compresse tes photos et ta musique. Avec ce chapitre, tu sauras :
- lire une longueur et un angle dans un quotient d'affixes ;
- démontrer un alignement, une orthogonalité, la nature d'un triangle ;
- décrire des ensembles de points ;
- trouver les racines \(n\)-ièmes de l'unité et les utiliser pour les polygones réguliers.
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O \,;\, \vec{u}, \vec{v})\). Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(M\) ont pour affixes \(a\), \(b\), \(c\), \(z\).
1 Angles et longueurs dans un quotient
Le module d'une différence donne une longueur, son argument un angle avec l'axe réel. Un quotient de deux différences compare deux vecteurs.
Si \(A \ne B\),
- \(AB = |b - a|\) et \(\arg(b - a) = (\vec{u}, \overrightarrow{AB})\) (à \(2\pi\) près) ;
- si de plus \(A \ne C\) : \[\left|\frac{c - a}{b - a}\right| = \frac{AC}{AB} \qquad \text{et} \qquad \arg\left(\frac{c - a}{b - a}\right) = \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) \ (2\pi).\] En mots : le module du quotient compare les longueurs ; son argument est l'angle orienté qui fait passer de \(\overrightarrow{AB}\) à \(\overrightarrow{AC}\).
L'idée en une phrase : module et argument d'un quotient se calculent séparément.
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Étape 1 — Le module. \(\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = \dfrac{|c - a|}{|b - a|} = \dfrac{AC}{AB}\), car le module d'un quotient est le quotient des modules.
Étape 2 — L'argument. \(\arg\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) = \arg(c - a) - \arg(b - a) = (\vec{u}, \overrightarrow{AC}) - (\vec{u}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\), par la relation de Chasles sur les angles orientés ✓.
\(A(1)\), \(B(3)\), \(C(1 + 2i)\).
Étape 1 — Le quotient. \(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{2i}{2} = i\).
Étape 2 — Lire. \(|i| = 1\), donc \(AC = AB\) ; \(\arg(i) = \dfrac{\pi}{2}\), donc \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{\pi}{2}\).
Étape 3 — Conclure. Le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
🔍 Vérification : \(AB = 2\) et \(AC = |2i| = 2\) ✓.
- ❌ Inverser : \(\arg\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) = (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})\). ✅ Le vecteur du dénominateur est le point de départ de l'angle.
- ❌ Oublier que les vecteurs partent du même point \(A\).
\(A(2)\), \(B(3 + i)\), \(C(1 + i)\). Calcule \(\dfrac{c - a}{b - a}\) et donne la nature du triangle \(ABC\).
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\(\dfrac{-1 + i}{1 + i} = \dfrac{(-1 + i)(1 - i)}{2} = \dfrac{2i}{2} = i\) : triangle rectangle isocèle en \(A\).
\(\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = \dfrac{AC}{AB}\) et \(\arg\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\).
2 Alignement, orthogonalité, nature d'un triangle
Selon la valeur de l'argument du quotient, on reconnaît des configurations.
Avec \(A\), \(B\), \(C\) distincts et \(Z = \dfrac{c - a}{b - a}\) :
- \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si, et seulement si, \(Z\) est réel ;
- \((AB) \perp (AC)\) si, et seulement si, \(Z\) est imaginaire pur ;
- \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\) si, et seulement si, \(Z = i\) ou \(Z = -i\) ;
- \(ABC\) est équilatéral si, et seulement si, \(Z = e^{i\pi/3}\) ou \(Z = e^{-i\pi/3}\).
L'idée en une phrase : on traduit l'angle \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\).
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Étape 1 — Alignement. \(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\iff (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\) ou \(\pi\) \(\iff \arg(Z) = 0\) ou \(\pi\) \(\iff Z\) réel (non nul).
Étape 2 — Orthogonalité. \((AB) \perp (AC) \iff (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \pm\dfrac{\pi}{2} \iff Z\) imaginaire pur (non nul).
Étape 3 — Équilatéral. \(AB = AC\) et angle \(\pm\dfrac{\pi}{3}\) \(\iff |Z| = 1\) et \(\arg Z = \pm\dfrac{\pi}{3}\) \(\iff Z = e^{\pm i\pi/3}\) (un triangle isocèle d'angle au sommet \(60°\) est équilatéral).
\(A(1 + i)\), \(B(3 + 2i)\), \(C(7 + 4i)\).
Étape 1 — Le quotient. \(Z = \dfrac{6 + 3i}{2 + i} = \dfrac{3(2 + i)}{2 + i} = 3\).
Étape 2 — Conclure. \(Z\) est réel : les points sont alignés (et même \(\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}\)).
🔍 Vérification : en coordonnées, \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}\) sont colinéaires ✓.
Dire que \(\dfrac{c - a}{b - a} = e^{i\theta}\), c'est dire que \(c - a = e^{i\theta}(b - a)\) : \(C\) s'obtient en faisant tourner \(B\) autour de \(A\) d'un angle \(\theta\). Pour construire un carré ou un triangle équilatéral, on multiplie par \(i\) ou par \(e^{i\pi/3}\).
- ❌ « \(Z = 3\), donc les longueurs sont égales. » ✅ \(|Z| = 3\) signifie \(AC = 3AB\).
- ❌ Pour un triangle équilatéral, vérifier seulement \(|Z| = 1\). ✅ \(|Z| = 1\) donne un triangle isocèle ; il faut aussi l'angle \(\pm\dfrac{\pi}{3}\).
\(O\), \(A(2)\) et \(B\left(1 + i\sqrt{3}\right)\). Montre que \(OAB\) est équilatéral.
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\(\dfrac{b - 0}{a - 0} = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = e^{i\pi/3}\) : le triangle est équilatéral.
\(Z = \dfrac{c - a}{b - a}\) réel → alignés ; imaginaire pur → perpendiculaires ; \(\pm i\) → rectangle isocèle ; \(e^{\pm i\pi/3}\) → équilatéral.
3 Ensembles de points
Traduire une condition sur \(z\) en une propriété géométrique permet de décrire un ensemble de points.
- \(|z - a| = r\) (avec \(r > 0\)) : cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\) ;
- \(|z - a| = |z - b|\) (avec \(A \ne B\)) : médiatrice de \([AB]\) ;
- \(\arg(z - a) = \theta\) (\(2\pi\)) : demi-droite d'origine \(A\) (privée de \(A\)) dirigée par \(e^{i\theta}\).
Étape 1 — \(|z - 1 + i| = 2\). On écrit \(|z - (1 - i)| = 2\) : c'est le cercle de centre \(A(1 - i)\) et de rayon \(2\).
Étape 2 — \(|z| = |z - 4|\). C'est \(OM = BM\) avec \(B(4)\) : la médiatrice de \([OB]\), c'est-à-dire la droite d'équation \(x = 2\).
🔍 Vérification : le point \(2 + 5i\) est à égale distance de \(O\) et de \(B\) : \(|2 + 5i| = |-2 + 5i| = \sqrt{29}\) ✓.
- ❌ \(|z + 1 - i| = 2\) : « centre \(1 - i\) ». ✅ \(z + 1 - i = z - (-1 + i)\) : le centre est \(-1 + i\).
Décris l'ensemble des points \(M\) tels que \(|z - 3| = |z - i|\).
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\(AM = BM\) avec \(A(3)\) et \(B(i)\) : c'est la médiatrice de \([AB]\).
\(|z - a| = r\) → cercle ; \(|z - a| = |z - b|\) → médiatrice ; écrire toujours \(z - (\text{affixe})\) pour lire le point.
4 Les racines n-ièmes de l'unité
Les solutions de \(z^n = 1\) sont les sommets d'un polygone régulier.
Pour un entier \(n \geqslant 1\), une racine \(n\)-ième de l'unité est un complexe \(z\) tel que \(z^n = 1\). On note \(\mathbb{U}_n\) leur ensemble.
\(\mathbb{U}_n\) contient exactement \(n\) éléments : \[\mathbb{U}_n = \left\{ e^{2ik\pi/n} \ :\ k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}.\] Leurs images sont les sommets d'un polygone régulier à \(n\) côtés, inscrit dans le cercle unité, dont un sommet est le point d'affixe \(1\).
L'idée en une phrase : on écrit \(z = re^{i\theta}\) et on identifie modules et arguments.
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Étape 1 — Le module. Si \(z^n = 1\), alors \(|z|^n = 1\), donc \(r = 1\) (car \(r > 0\)) : \(z = e^{i\theta}\).
Étape 2 — L'argument. \(z^n = e^{in\theta} = 1 = e^{0}\) si, et seulement si, \(n\theta\) est un multiple de \(2\pi\) : \(\theta = \dfrac{2k\pi}{n}\) avec \(k\) entier.
Étape 3 — Compter. Les valeurs \(k = 0, 1, \ldots, n - 1\) donnent \(n\) points distincts du cercle (angles différents entre \(0\) et \(2\pi\)) ; ajouter \(n\) à \(k\) redonne le même point. Il y a donc exactement \(n\) racines ✓ (ce qui est le maximum pour un polynôme de degré \(n\)).
Étape 1 — \(n = 2\). \(\mathbb{U}_2 = \{1 \,;\, e^{i\pi}\} = \{1 \,;\, -1\}\).
Étape 2 — \(n = 3\). \(\mathbb{U}_3 = \{1 \,;\, j \,;\, j^2\}\) avec \(j = e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) : un triangle équilatéral.
Étape 3 — \(n = 4\). \(\mathbb{U}_4 = \{1 \,;\, i \,;\, -1 \,;\, -i\}\) : un carré.
🔍 Vérification : \(j^3 = e^{2i\pi} = 1\) ✓ et \(i^4 = 1\) ✓.
- ❌ « \(z^n = 1\) a pour seule solution \(1\). » ✅ C'est vrai dans \(\mathbb{R}\) (pour \(n\) impair) ; dans \(\mathbb{C}\), il y en a \(n\).
- ❌ Prendre \(k = 0, \ldots, n\). ✅ \(k = n\) redonne \(1\) : on s'arrête à \(n - 1\).
Donne les racines sixièmes de l'unité sous forme algébrique.
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\(1\), \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), \(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), \(-1\), \(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\).
\(\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ 0 \leqslant k \leqslant n - 1\}\) : \(n\) points régulièrement espacés sur le cercle unité.
5 Somme des racines et polygones réguliers
Les racines \(n\)-ièmes de l'unité se compensent exactement : leur somme est nulle.
Pour \(n \geqslant 2\), la somme des racines \(n\)-ièmes de l'unité est nulle : \[\sum_{k=0}^{n-1} e^{2ik\pi/n} = 0.\]
L'idée en une phrase : c'est une somme géométrique de raison \(\omega = e^{2i\pi/n} \ne 1\).
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Étape 1 — Reconnaître. \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 1 + \omega + \cdots + \omega^{n-1}\), avec \(\omega \ne 1\) car \(n \geqslant 2\).
Étape 2 — Formule. Cette somme vaut \(\dfrac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = \dfrac{1 - 1}{1 - \omega} = 0\), car \(\omega^n = 1\) ✓.
L'hexagone dont les sommets sont les racines sixièmes de l'unité a pour côté la distance entre \(1\) et \(e^{i\pi/3}\).
Étape 1 — La différence. \(e^{i\pi/3} - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i - 1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\).
Étape 2 — Le module. \(\sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = 1\) : le côté vaut \(1\), et le périmètre \(6\).
🔍 Vérification : un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon \(1\) est formé de six triangles équilatéraux de côté \(1\) ✓.
- ❌ Appliquer la somme nulle pour \(n = 1\). ✅ \(\mathbb{U}_1 = \{1\}\), de somme \(1\).
Vérifie directement que la somme des racines quatrièmes de l'unité est nulle.
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\(1 + i + (-1) + (-i) = 0\) ✓.
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} e^{2ik\pi/n} = 0\) pour \(n \geqslant 2\) ; côté du polygone : \(|e^{2i\pi/n} - 1|\).
Pour aller plus loin
Contenu facultatif, non exigible.
(hors programme) : en développant l'égalité \(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0\) avec \(\omega = e^{2i\pi/5}\), on trouve \(\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\), ce qui permet de construire le pentagone régulier à la règle et au compas (exercice 25).
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
À quoi est égal un argument de \(\dfrac{c - a}{b - a}\) ?
\(\arg(c - a) - \arg(b - a) = (\vec{u}, \overrightarrow{AC}) - (\vec{u}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\).
Revoir dans le cours : 1. Angles et longueurs dans un quotient
\(A(1 + i)\), \(B(3 + 2i)\), \(C(7 + 4i)\). Que vaut \(\dfrac{c - a}{b - a}\), et que peut-on en conclure ?
\(\dfrac{6 + 3i}{2 + i} = 3\) est réel : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
Revoir dans le cours : 2. Alignement, orthogonalité, nature d'un triangle
Vrai ou faux : si \(\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = 1\), alors le triangle \(ABC\) est équilatéral.
Ce module donne seulement \(AC = AB\) : le triangle est isocèle. Il faut aussi un argument égal à \(\pm\dfrac{\pi}{3}\).
Revoir dans le cours : 2. Alignement, orthogonalité, nature d'un triangle
Quel est l'ensemble des points \(M\) tels que \(|z - 1 + i| = 2\) ?
On écrit \(|z - (1 - i)| = 2\) : distance \(2\) au point d'affixe \(1 - i\).
Combien y a-t-il de racines sixièmes de l'unité ?
Réponse attendue : \(6\)
\(\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k = 0, \ldots, n - 1\}\) contient exactement \(n\) éléments.
Quels sont les éléments de \(\mathbb{U}_4\) ?
\(e^{2ik\pi/4} = i^k\) pour \(k = 0, 1, 2, 3\).
Combien vaut la somme des racines cinquièmes de l'unité ?
Réponse attendue : \(0\)
Pour \(n \geqslant 2\), c'est une somme géométrique : \(\dfrac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = 0\).
Revoir dans le cours : 5. Somme des racines et polygones réguliers
À revoir dans le cours :
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Longueur, angle | \(AB = |b - a|\) ; \(\arg(b - a) = (\vec{u}, \overrightarrow{AB})\) |
| Quotient | \(\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = \dfrac{AC}{AB}\) ; \(\arg\dfrac{c - a}{b - a} = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\) |
| Alignés | \(\dfrac{c - a}{b - a}\) réel |
| Perpendiculaires | \(\dfrac{c - a}{b - a}\) imaginaire pur |
| Rectangle isocèle en \(A\) | quotient \(= \pm i\) |
| Équilatéral | quotient \(= e^{\pm i\pi/3}\) |
| Rotation | \(c - a = e^{i\theta}(b - a)\) : \(C\) image de \(B\) par la rotation de centre \(A\), d'angle \(\theta\) |
| Cercle | \(|z - a| = r\) |
| Médiatrice | \(|z - a| = |z - b|\) |
| Racines \(n\)-ièmes de l'unité | \(e^{2ik\pi/n}\), \(k = 0, \ldots, n - 1\) ; polygone régulier |
| Somme | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} e^{2ik\pi/n} = 0\) (\(n \geqslant 2\)) |
Pièges à éviter
- Le dénominateur donne le premier vecteur de l'angle.
- \(|Z| = 1\) seul donne un triangle isocèle, pas équilatéral.
- \(|z + a|\) : le centre a pour affixe \(-a\).
- Il y a \(n\) racines \(n\)-ièmes de l'unité, pas une seule.
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
\(A(1)\), \(B(3)\) et \(C(1 + 2i)\). Calcule \(\dfrac{c - a}{b - a}\), puis donne \(\dfrac{AC}{AB}\) et l'angle \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?
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calculer le quotient, puis lire module et argument.
\(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{2i}{2} = \boxed{i}\) : \(\dfrac{AC}{AB} = |i| = 1\) et \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \dfrac{\pi}{2}\). Triangle rectangle isocèle en \(A\).
🔍 Vérification : \(AB = 2\), \(AC = 2\) ✓
Montre que \(A(1 + i)\), \(B(3 + 2i)\) et \(C(7 + 4i)\) sont alignés.
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quotient réel ⇔ alignés.
\(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{6 + 3i}{2 + i} = 3\) : réel, donc alignés.
🔍 Vérification : \(3(2 + i) = 6 + 3i\) ✓
\(O\), \(B(2 + i)\) et \(C(-1 + 2i)\). Montre que les droites \((OB)\) et \((OC)\) sont perpendiculaires.
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quotient imaginaire pur ⇔ perpendiculaires.
\(\dfrac{c - 0}{b - 0} = \dfrac{-1 + 2i}{2 + i} = \dfrac{(-1 + 2i)(2 - i)}{5} = \dfrac{-2 + i + 4i + 2}{5} = \dfrac{5i}{5} = i\) : imaginaire pur, donc \((OB) \perp (OC)\).
🔍 Vérification : \(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 2 \times (-1) + 1 \times 2 = 0\) ✓
Donne les éléments de \(\mathbb{U}_2\), \(\mathbb{U}_3\) et \(\mathbb{U}_4\) sous forme algébrique.
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\(e^{2ik\pi/n}\).
\(\mathbb{U}_2 = \{1 \,;\, -1\}\) ; \(\mathbb{U}_3 = \left\{1 \,;\, -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \,;\, -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right\}\) ; \(\mathbb{U}_4 = \{1 \,;\, i \,;\, -1 \,;\, -i\}\).
🔍 Vérification : \((-1)^2 = 1\) et \((-i)^4 = 1\) ✓
Décris l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(|z - 1 + i| = 2\).
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écrire \(|z - \text{(affixe du centre)}|\).
\(|z - (1 - i)| = 2\) : cercle de centre \((1 \,;\, -1)\) et de rayon \(2\).
🔍 Vérification : le point \(3 - i\) est sur ce cercle : \(|3 - i - 1 + i| = 2\) ✓
Décris l'ensemble des points \(M\) tels que \(|z| = |z - 4|\), et donne une équation de cet ensemble.
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distances égales → médiatrice.
\(OM = BM\) avec \(B(4)\) : médiatrice de \([OB]\), d'équation \(\boxed{x = 2}\).
🔍 Vérification : avec \(z = x + iy\) : \(x^2 + y^2 = (x - 4)^2 + y^2 \iff 0 = -8x + 16 \iff x = 2\) ✓
Montre que le triangle \(OAB\), avec \(A(2)\) et \(B\left(1 + i\sqrt{3}\right)\), est équilatéral.
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quotient \(= e^{\pm i\pi/3}\).
\(\dfrac{b}{a} = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}\) : \(OB = OA\) et \((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = \dfrac{\pi}{3}\), donc \(OAB\) est équilatéral.
🔍 Vérification : \(AB = |-1 + i\sqrt{3}| = 2 = OA\) ✓
Écris les racines sixièmes de l'unité sous forme exponentielle, puis algébrique.
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\(e^{2ik\pi/6} = e^{ik\pi/3}\).
\(1\), \(e^{i\pi/3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), \(e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), \(e^{i\pi} = -1\), \(e^{4i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), \(e^{5i\pi/3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\).
🔍 Vérification : ce sont les sommets de l'hexagone de la figure du cours ✓
Vérifie que \(1 + j + j^2 = 0\), avec \(j = e^{2i\pi/3}\).
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forme algébrique de \(j\) et \(j^2\).
\(1 + \left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) + \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 0\) ✓.
🔍 Vérification : c'est la somme des racines cubiques de l'unité ✓
Vérifie que \(e^{i\pi/4}\) appartient à \(\mathbb{U}_8\).
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\((e^{i\theta})^8 = e^{8i\theta}\).
\(\left(e^{i\pi/4}\right)^8 = e^{2i\pi} = 1\) ✓ : \(e^{i\pi/4} \in \mathbb{U}_8\).
🔍 Vérification : c'est \(k = 1\) dans \(e^{2ik\pi/8}\) ✓
Vérifie que \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i\) est une racine huitième de l'unité.
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reconnaître une forme exponentielle.
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i = e^{i\pi/4}\), qui est dans \(\mathbb{U}_8\) (exercice 10) ✓.
🔍 Vérification : son module vaut \(\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} = 1\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
\(A(1 + i)\), \(B(4 + 2i)\) et \(C(2 + 4i)\).
a) Calcule \(\dfrac{c - a}{b - a}\) sous forme algébrique, puis son module.
b) Déduis-en la nature du triangle \(ABC\) et une valeur approchée de l'angle \(\widehat{BAC}\).
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forme algébrique du quotient, puis module et argument.
a) \(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{1 + 3i}{3 + i} = \dfrac{(1 + 3i)(3 - i)}{10} = \dfrac{3 - i + 9i + 3}{10} = \boxed{\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i}\), de module \(\sqrt{\dfrac{9 + 16}{25}} = \boxed{1}\).
b) \(AC = AB\) : le triangle est isocèle en \(A\). \(\cos\widehat{BAC} = \dfrac{3}{5}\), donc \(\widehat{BAC} \approx \boxed{53{,}1°}\) (ni droit ni de \(60°\)).
🔍 Vérification : \(AB = |3 + i| = \sqrt{10}\) et \(AC = |1 + 3i| = \sqrt{10}\) ✓
\(A(1 + i)\) et \(B(3 + 2i)\). On veut construire le carré \(ABCD\) (sens direct).
a) Justifie que \(d - a = i(b - a)\) et calcule \(d\).
b) Calcule \(c\), sachant que \(ABCD\) est un parallélogramme.
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\(D\) est l'image de \(B\) par la rotation de centre \(A\) d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
a) Dans le carré direct \(ABCD\), \(AD = AB\) et \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \dfrac{\pi}{2}\), donc \(\dfrac{d - a}{b - a} = i\). \(d = 1 + i + i(2 + i) = 1 + i + 2i - 1 = \boxed{3i}\).
b) \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\) : \(c = d + b - a = 3i + 2 + i = \boxed{2 + 4i}\).
🔍 Vérification : \(BC = |-1 + 2i| = \sqrt{5} = AB\) ✓
\(O\) et \(A(2)\). Trouve l'affixe du point \(C\) tel que \(OAC\) soit équilatéral direct.
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\(c - 0 = e^{i\pi/3}(a - 0)\).
\(c = 2e^{i\pi/3} = \boxed{1 + i\sqrt{3}}\).
🔍 Vérification : c'est le triangle de l'exercice 7 ✓
\(A(i)\) et \(B(1)\). Pour \(z \ne 1\), on pose \(Z = \dfrac{z - i}{z - 1}\).
a) Interprète un argument de \(Z\) comme un angle de vecteurs.
b) Décris l'ensemble des points \(M\) tels que \(Z\) soit un imaginaire pur non nul.
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\(Z = \dfrac{z - a}{z - b}\) compare \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{AM}\).
a) Pour \(M \ne A\) et \(M \ne B\) : \(\arg Z = \arg(z - i) - \arg(z - 1) = (\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{AM})\).
b) \(Z\) imaginaire pur non nul \(\iff (\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{AM}) = \pm\dfrac{\pi}{2} \iff\) le triangle \(AMB\) est rectangle en \(M\) \(\iff M\) est sur le cercle de diamètre \([AB]\), privé de \(A\) et de \(B\).
🔍 Vérification : le centre est le milieu \(\dfrac{1 + i}{2}\) et le rayon \(\dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ✓
a) Écris \(8i\) sous forme exponentielle.
b) Résous \(z^3 = 8i\) en cherchant \(z = re^{i\theta}\).
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identification des modules et des arguments.
a) \(\boxed{8i = 8e^{i\pi/2}}\).
b) \(r^3e^{3i\theta} = 8e^{i\pi/2} \iff r = 2\) et \(3\theta = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), soit \(\theta = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\). Solutions : \(2e^{i\pi/6} = \boxed{\sqrt{3} + i}\), \(2e^{5i\pi/6} = \boxed{-\sqrt{3} + i}\), \(2e^{3i\pi/2} = \boxed{-2i}\).
🔍 Vérification : \((-2i)^3 = -8i^3 = 8i\) ✓
Calcule le côté et le périmètre de l'hexagone régulier dont les sommets sont les racines sixièmes de l'unité.
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côté \(= |e^{i\pi/3} - 1|\).
\(e^{i\pi/3} - 1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), de module \(1\) : côté \(\boxed{1}\), périmètre \(\boxed{6}\).
🔍 Vérification : le périmètre \(6\) est un peu moins que celui du cercle (\(2\pi \approx 6{,}28\)) ✓
a) Montre que \(|e^{i\theta} - 1| = 2\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|\) (on pourra factoriser par \(e^{i\theta/2}\)).
b) Déduis-en le côté du carré et celui de l'hexagone inscrits dans le cercle unité.
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angle moitié.
a) \(e^{i\theta} - 1 = e^{i\theta/2}\left(e^{i\theta/2} - e^{-i\theta/2}\right) = e^{i\theta/2} \times 2i\sin\dfrac{\theta}{2}\) (Euler), donc \(|e^{i\theta} - 1| = 2\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|\) ✓.
b) Carré (\(\theta = \dfrac{\pi}{2}\)) : \(2\sin\dfrac{\pi}{4} = \boxed{\sqrt{2}}\). Hexagone (\(\theta = \dfrac{\pi}{3}\)) : \(2\sin\dfrac{\pi}{6} = \boxed{1}\).
🔍 Vérification : \(|i - 1| = \sqrt{2}\) ✓
\(A(1)\), \(B(2 + i)\), \(C(i)\). Montre que le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\).
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quotient \(= \pm i\).
\(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{-1 + i}{1 + i} = \dfrac{(-1 + i)(1 - i)}{2} = \dfrac{-1 + i + i + 1}{2} = i\) : rectangle isocèle en \(A\).
🔍 Vérification : \(AB = |1 + i| = \sqrt{2} = |-1 + i| = AC\) ✓
\(A(1)\), \(B(2 + i)\) et \(C(m + 3i)\), avec \(m\) réel. Pour quelle valeur de \(m\) les points sont-ils alignés ?
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le quotient doit être réel : partie imaginaire nulle.
\(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{(m - 1) + 3i}{1 + i} = \dfrac{\big((m - 1) + 3i\big)(1 - i)}{2} = \dfrac{(m - 1 + 3) + i(3 - m + 1)}{2}\).
Partie imaginaire nulle : \(4 - m = 0\), donc \(\boxed{m = 4}\).
🔍 Vérification : \(C(4 + 3i)\) : \(\dfrac{3 + 3i}{1 + i} = 3\) réel ✓
\(A(1 + i)\), \(B(5 + i)\), \(C(1 + 3i)\).
a) Montre que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
b) Déduis-en le centre et le rayon de son cercle circonscrit.
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angle droit en \(A\) → centre au milieu de l'hypoténuse.
a) \(\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{2i}{4} = \dfrac{i}{2}\) : imaginaire pur, donc \((AB) \perp (AC)\) ✓.
b) Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse \([BC]\) : centre \(\dfrac{(5 + i) + (1 + 3i)}{2} = \boxed{3 + 2i}\), rayon \(\dfrac{|4 - 2i|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \boxed{\sqrt{5}}\).
🔍 Vérification : distance du centre à \(A\) : \(|2 + i| = \sqrt{5}\) ✓
Calcule le produit des racines quatrièmes de l'unité.
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multiplier les quatre nombres.
\(1 \times i \times (-1) \times (-i) = i \times i = \boxed{-1}\).
🔍 Vérification : en forme exponentielle, la somme des arguments est \(0 + \dfrac{\pi}{2} + \pi + \dfrac{3\pi}{2} = 3\pi\), et \(e^{3i\pi} = -1\) ✓
Trouve l'affixe de l'image de \(B(3 + i)\) par la rotation de centre \(A(1)\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
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\(b' - a = e^{i\pi/2}(b - a) = i(b - a)\).
\(b' = 1 + i(2 + i) = 1 + 2i - 1 = \boxed{2i}\).
🔍 Vérification : \(|b' - a| = |-1 + 2i| = \sqrt{5} = |2 + i| = |b - a|\) ✓
Décris l'ensemble des points \(M\) tels que \(\arg(z - 1) = \dfrac{\pi}{4}\) (\(2\pi\)).
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l'argument fixe la direction de \(\overrightarrow{AM}\), avec \(A(1)\).
C'est la demi-droite d'origine \(A(1)\), privée de \(A\), dirigée par le vecteur \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (direction \(e^{i\pi/4}\)).
🔍 Vérification : \(M(3 + 2i)\) : \(\arg(2 + 2i) = \dfrac{\pi}{4}\) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
On pose \(\omega = e^{2i\pi/5}\) et \(c = \omega + \omega^4\).
a) Justifie que \(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0\) et que \(\omega^4 = \overline{\omega}\), \(\omega^3 = \overline{\omega^2}\).
b) Montre que \(c = 2\cos\dfrac{2\pi}{5}\) et que \(c^2 = \omega^2 + \omega^3 + 2\).
c) Déduis-en que \(c^2 + c - 1 = 0\), puis que \(\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\).
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somme nulle des racines cinquièmes, puis conjugués.
a) Somme des racines cinquièmes de l'unité : nulle. \(\omega^4 = e^{8i\pi/5} = e^{-2i\pi/5} = \overline{\omega}\) et \(\omega^3 = e^{-4i\pi/5} = \overline{\omega^2}\) ✓.
b) \(c = \omega + \overline{\omega} = 2\operatorname{Re}(\omega) = 2\cos\dfrac{2\pi}{5}\). \(c^2 = \omega^2 + 2\omega^5 + \omega^8 = \omega^2 + 2 + \omega^3\) (car \(\omega^5 = 1\) et \(\omega^8 = \omega^3\)) ✓.
c) \(c^2 + c - 1 = (\omega^2 + \omega^3 + 2) + (\omega + \omega^4) - 1 = 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0\). Les racines de \(X^2 + X - 1\) sont \(\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\) ; comme \(c > 0\) (\(\dfrac{2\pi}{5} < \dfrac{\pi}{2}\)), \(c = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\boxed{\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}}\).
🔍 Vérification : \(\dfrac{2{,}236 - 1}{4} \approx 0{,}309\) et \(\cos 72° \approx 0{,}309\) ✓
Démontre que, pour \(n \geqslant 2\), la somme des racines \(n\)-ièmes de l'unité est nulle. Interprète géométriquement pour \(n = 3\).
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somme géométrique de raison \(\omega = e^{2i\pi/n} \ne 1\).
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \dfrac{1 - \omega^n}{1 - \omega} = 0\), car \(\omega^n = 1\) et \(\omega \ne 1\) (voir partie 5).
Pour \(n = 3\) : les vecteurs \(\overrightarrow{OM_0}\), \(\overrightarrow{OM_1}\), \(\overrightarrow{OM_2}\) vers les sommets du triangle équilatéral ont une somme nulle : \(O\) est le centre de gravité du triangle.
🔍 Vérification : \(1 + j + j^2 = 0\) (exercice 9) ✓
a) Montre que les solutions de \(z^n = re^{i\alpha}\) (avec \(r > 0\)) sont \(r^{1/n}e^{i(\alpha + 2k\pi)/n}\), \(k = 0, \ldots, n - 1\).
b) Résous \(z^4 = -16\) et donne les solutions sous forme algébrique.
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\(z = \rho e^{i\theta}\), identification.
a) \(\rho^ne^{in\theta} = re^{i\alpha} \iff \rho^n = r\) et \(n\theta = \alpha + 2k\pi\), soit \(\rho = r^{1/n}\) et \(\theta = \dfrac{\alpha + 2k\pi}{n}\) ; les valeurs \(k = 0, \ldots, n - 1\) donnent \(n\) solutions distinctes ✓.
b) \(-16 = 16e^{i\pi}\) : \(z = 2e^{i(\pi + 2k\pi)/4}\), soit \(\boxed{\sqrt{2} + i\sqrt{2},\ -\sqrt{2} + i\sqrt{2},\ -\sqrt{2} - i\sqrt{2},\ \sqrt{2} - i\sqrt{2}}\).
🔍 Vérification : \(\left(\sqrt{2}(1 + i)\right)^4 = 4(1 + i)^4 = 4 \times (-4) = -16\) ✓
Montre que les points d'affixes \(1\), \(j\) et \(j^2\) forment un triangle équilatéral et calcule son côté.
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calculer les trois côtés, ou utiliser un quotient.
\(|1 - j| = \left|\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}\). De même \(|j - j^2| = |i\sqrt{3}| = \sqrt{3}\) et \(|j^2 - 1| = \sqrt{3}\) : triangle équilatéral de côté \(\boxed{\sqrt{3}}\).
🔍 Vérification : formule de l'exercice 18 avec \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) : \(2\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) ✓
On considère les points d'affixes \(z_k = 2e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}\), pour \(k = 0, 1, 2, 3\).
a) Écris ces affixes sous forme algébrique.
b) Montre que ces points forment un carré, et calcule son aire.
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forme algébrique, puis côtés et angles.
a) \(z_0 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}\), \(z_1 = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}\), \(z_2 = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}\), \(z_3 = \sqrt{2} - i\sqrt{2}\).
b) Chaque point s'obtient à partir du précédent en multipliant par \(e^{i\pi/2} = i\) (rotation de centre \(O\) d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\)) : les quatre points forment un carré de centre \(O\). Côté : \(|z_1 - z_0| = 2\sqrt{2}\), aire \(\boxed{8}\).
🔍 Vérification : diagonale \(|z_2 - z_0| = 4\), et l'aire d'un carré vaut \(\dfrac{d^2}{2} = 8\) ✓
On cherche les points \(M\) d'affixe \(z\) (avec \(z \notin \{-1 \,;\, 0 \,;\, 1\}\)) tels que les points d'affixes \(z\), \(z^2\) et \(z^3\) forment un triangle rectangle en \(z\).
a) Montre que \(\dfrac{z^3 - z}{z^2 - z} = z + 1\).
b) Déduis-en l'ensemble cherché.
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angle droit en \(z\) ⇔ quotient imaginaire pur.
a) \(\dfrac{z^3 - z}{z^2 - z} = \dfrac{z(z - 1)(z + 1)}{z(z - 1)} = z + 1\) (car \(z \ne 0\) et \(z \ne 1\)) ✓.
b) Le triangle est rectangle en \(M(z)\) si, et seulement si, \(z + 1\) est imaginaire pur non nul, c'est-à-dire \(\operatorname{Re}(z) = -1\) avec \(z \ne -1\). L'ensemble est la droite d'équation \(x = -1\), privée du point \(-1\).
🔍 Vérification : \(z = -1 + i\) : \(z + 1 = i\) (imaginaire pur) ✓
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