Croissance linéaire

\[u(1) = 11, \quad u(2) = 15, \quad u(3) = 19, \quad u(4) = 23\]

🔍 Vérification : \(u(4) = 7 + 4 \times 4 = 23\) ✓

🔍 Vérification : a) \(5 + 3 = 8\), \(8 + 3 = 11\), \(11 + 3 = 14\) ✓

a) \(2\,000 \times 0{,}03 = \boxed{60 \text{ €}}\) par an.

b) On ajoute \(60\) € chaque année : \(C\) est arithmétique de raison \(60\), et \(C(n) = 2\,000 + 60n\). Donc \(C(5) = 2\,000 + 300 = \boxed{2\,300 \text{ €}}\).

🔍 Vérification : en \(5\) ans, \(5 \times 60 = 300\) € d'intérêts ✓

\(u(10) = 12 + 10 \times (-2) = 12 - 20 = \boxed{-8}\).

🔍 Vérification : la suite décroît de \(2\) à chaque pas : \(12 \to 10 \to \ldots\) ; après \(6\) pas on atteint \(0\), après \(10\) pas \(-8\) ✓

a) \(u(n) = 5 + 3(n - 1) = \boxed{3n + 2}\).

b) \(u(20) = 3 \times 20 + 2 = \boxed{62}\).

🔍 Vérification : \(u(1) = 3 + 2 = 5\) ✓

a) croissante (\(r > 0\))
b) décroissante (\(r < 0\))
c) constante (\(r = 0\))

🔍 Vérification : b) \(10 \to 9{,}6 \to 9{,}2\) : ça diminue ✓

a) \(T(2) = 8\) et \(T(3) = 11\).

b) \(T(n) = 5 + 3(n - 1) = \boxed{3n + 2}\), donc \(T(10) = \boxed{32}\).

🔍 Vérification : \(T(3) = 3 \times 3 + 2 = 11\) ✓

\(f(0) = \boxed{32}\) ; \(f(100) = 180 + 32 = \boxed{212}\) ; \(f(37) = 66{,}6 + 32 = \boxed{98{,}6}\).

🔍 Vérification : l'eau gèle à \(32\) °F et bout à \(212\) °F ✓

\(a = \dfrac{16 - 7}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = \boxed{3}\).

🔍 Vérification : de \(2\) à \(5\), \(x\) augmente de \(3\) et \(f(x)\) de \(9 = 3 \times 3\) ✓

\(150 + 12n \geqslant 300 \iff 12n \geqslant 150 \iff n \geqslant 12{,}5\). Premier entier : \(\boxed{n = 13}\).

🔍 Vérification : \(u(12) = 294 < 300\) et \(u(13) = 306 \geqslant 300\) ✓

\(u(100) = 3 + 100 \times 5 = 3 + 500 = \boxed{503}\).

🔍 Vérification : \(100\) pas de \(5\) font \(500\) ✓

a) \(u(9) = u(4) + 5r\), donc \(44 = 19 + 5r\), \(5r = 25\) et \(\boxed{r = 5}\).

b) \(u(4) = u(0) + 4 \times 5\), donc \(u(0) = 19 - 20 = \boxed{-1}\). Puis \(u(20) = -1 + 20 \times 5 = \boxed{99}\).

🔍 Vérification : \(u(9) = -1 + 45 = 44\) ✓

a) \(\boxed{f(x) = 1{,}5x + 4}\) : fonction affine (coefficient directeur \(1{,}5\), ordonnée à l'origine \(4\)).

b) \(f(12) = 18 + 4 = \boxed{22 \text{ €}}\).

c) \(1{,}5x + 4 \leqslant 30 \iff 1{,}5x \leqslant 26 \iff x \leqslant \dfrac{26}{1{,}5} \approx 17{,}3\). Au maximum \(\boxed{17 \text{ km}}\).

🔍 Vérification : \(f(17) = 29{,}50\) € \(\leqslant 30\) et \(f(18) = 31\) € \(> 30\) ✓

a) \(D\) a un coefficient directeur négatif (\(-20\)) : la demande diminue quand le prix augmente. \(O\) a un coefficient positif (\(30\)) : l'offre augmente.

b) \(-20p + 800 = 30p - 200 \iff 1\,000 = 50p \iff \boxed{p = 20 \text{ €}}\). Quantité : \(D(20) = -400 + 800 = \boxed{400 \text{ unités}}\).

🔍 Vérification : \(O(20) = 600 - 200 = 400\) ✓

a) \(y = 1{,}8x + 32 \iff 1{,}8x = y - 32 \iff \boxed{x = \dfrac{y - 32}{1{,}8}}\).

b) \(x = \dfrac{50 - 32}{1{,}8} = \dfrac{18}{1{,}8} = \boxed{10 \text{ °C}}\).

c) On cherche \(x = 1{,}8x + 32 \iff -0{,}8x = 32 \iff \boxed{x = -40}\) : \(-40\) °C \(= -40\) °F.

🔍 Vérification : \(1{,}8 \times (-40) + 32 = -72 + 32 = -40\) ✓

a) 2050 correspond à \(t = 50\) : \(L(50) = \boxed{165 \text{ mm}}\), soit \(16{,}5\) cm.

b) \(20\) cm \(= 200\) mm. \(3{,}3t > 200 \iff t > \dfrac{200}{3{,}3} \approx 60{,}6\), donc \(t = 61\) : en \(\boxed{2061}\).

c) Les mesures montrent que la montée s'accélère (fonte des glaces, dilatation de l'eau qui se réchauffe) : un modèle à vitesse constante sous-estime alors l'élévation future.

🔍 Vérification : \(L(60) = 198\) mm \(< 200\) et \(L(61) = 201{,}3\) mm \(> 200\) ✓

a) \(5 - 3 = 2\) et \(7 - 5 = 2\) : arithmétique de raison \(\boxed{r = 2}\).

b) \(u(0) = u(1) - r = 3 - 2 = \boxed{1}\), donc \(\boxed{u(n) = 1 + 2n}\).

🔍 Vérification : \(u(3) = 1 + 6 = 7\) ✓

a) \(\boxed{D(n) = 1\,200 + 80n}\)

b) \(1\,200 + 80n > 2\,000 \iff 80n > 800 \iff n > 10\). Premier entier : \(n = 11\), soit en \(\boxed{2037}\).

🔍 Vérification : \(D(10) = 2\,000\) (égal, pas « plus de ») et \(D(11) = 2\,080 > 2\,000\) ✓

a) \(\boxed{a(n) = 2\,000 + 150n}\) et \(\boxed{b(n) = 2\,000 \times 1{,}06^n}\).

b)

\(b(8) < a(8)\) mais \(b(9) > a(9)\) : la formule B est plus avantageuse à partir de la \(\boxed{9^\text{e}}\) année.

🔍 Vérification : la croissance géométrique finit par dépasser la croissance linéaire ✓

a) Le bord a \(4\) côtés de \(n\) cases, mais les \(4\) coins sont comptés deux fois : \(4n - 4\). On vérifie : \(4 \times 2 - 4 = 4\), \(4 \times 3 - 4 = 8\), \(4 \times 4 - 4 = 12\) ✓. C'est une suite arithmétique de raison \(4\).

b) \(B(10) = 40 - 4 = \boxed{36}\).

c) \(4n - 4 = 100 \iff 4n = 104 \iff \boxed{n = 26}\) : un carré de \(26 \times 26\) cases.

🔍 Vérification : \(4 \times 26 - 4 = 100\) ✓

a) Pour \(20\,000\) € : \(10\,\%\) de \((20\,000 - 10\,000) = \boxed{1\,000 \text{ €}}\). Pour \(40\,000\) € : tranche à \(10\,\%\) entière, \(10\,\%\) de \(15\,000 = 1\,500\) € ; puis \(30\,\%\) de \((40\,000 - 25\,000) = 4\,500\) €. Total : \(\boxed{6\,000 \text{ €}}\).

b) Taux moyen : \(\dfrac{6\,000}{40\,000} = \boxed{15\,\%}\). Taux marginal : \(\boxed{30\,\%}\).

🔍 Vérification : le taux moyen est plus petit que le taux marginal, car les premiers euros sont peu ou pas imposés ✓

a) Pour \(10\,000 \leqslant R \leqslant 25\,000\) : \(\boxed{I(R) = 0{,}1(R - 10\,000) = 0{,}1R - 1\,000}\). Pour \(R \geqslant 25\,000\) : \(\boxed{I(R) = 1\,500 + 0{,}3(R - 25\,000) = 0{,}3R - 6\,000}\).

b) Coefficients directeurs : \(0{,}1\), puis \(0{,}3\). Ce sont les taux marginaux : l'impôt supplémentaire pour \(1\) € de revenu en plus.

🔍 Vérification : en \(R = 25\,000\), les deux formules donnent \(1\,500\) € : la courbe ne fait pas de saut ✓

\(1\,000 - 35n < 0 \iff 35n > 1\,000 \iff n > \dfrac{1\,000}{35} \approx 28{,}6\). Premier entier : \(\boxed{n = 29}\).

🔍 Vérification : \(u(28) = 1\,000 - 980 = 20 > 0\) et \(u(29) = 1\,000 - 1\,015 = -15 < 0\) ✓

a) \(a = \dfrac{17 - 5}{6 - 2} = \dfrac{12}{4} = \boxed{3}\) ; \(5 = 3 \times 2 + b\) donne \(\boxed{b = -1}\).

b) \(f(10) = 30 - 1 = \boxed{29}\).

🔍 Vérification : \(f(6) = 18 - 1 = 17\) ✓

a) \(\boxed{C(n) = 4n + 1}\) (la case centrale plus quatre branches de \(n\) cases).

b) \(4n + 1 = 2\,026 \iff n = \dfrac{2\,025}{4} = 506{,}25\) : pas un entier, donc impossible. \(4n + 1 = 2\,025 \iff n = \dfrac{2\,024}{4} = 506\) : possible, avec des branches de \(506\) cases.

🔍 Vérification : \(4 \times 506 + 1 = 2\,025\) ✓

a) \(A(n) = 50n\) ; \(B(n) = 30n + 100\) ; \(C(n) = 10n + 200\).

b)

c) Les trois tarifs sont égaux pour \(5\) jours. Moins de \(5\) jours : A (pas de forfait) ; plus de \(5\) jours : C (le prix par jour le plus faible).

🔍 Vérification : \(50n = 10n + 200 \iff n = 5\) ✓

Pour \(R \geqslant 25\,000\) : \(0{,}3R - 6\,000 = 0{,}2R \iff 0{,}1R = 6\,000 \iff \boxed{R = 60\,000 \text{ €}}\).

🔍 Vérification : \(I(60\,000) = 18\,000 - 6\,000 = 12\,000\) et \(\dfrac{12\,000}{60\,000} = 20\,\%\) ✓

a) \(f(n) = rn + u(0) = u(0) + nr = u(n)\) ✓.

b) Les points \((n \,;\, u(n)) = (n \,;\, f(n))\) sont sur la courbe de \(f\), qui est une droite : ils sont alignés, sur une droite de coefficient directeur \(\boxed{r}\).

🔍 Vérification : c'est ce que montre la figure du cours, avec \(r = 1{,}5\) ✓

a) En °C : \(x = K - 273{,}15\). En °F : \(y = 1{,}8(K - 273{,}15) + 32 = 1{,}8K - 491{,}67 + 32 = \boxed{1{,}8K - 459{,}67}\).

b) Pour \(K = 0\) : \(\boxed{-459{,}67 \text{ °F}}\).

🔍 Vérification : \(0\) K \(= -273{,}15\) °C, et \(1{,}8 \times (-273{,}15) + 32 = -459{,}67\) ✓

a) \(u\) : raison \(40 > 0\), croissante ; \(v\) : raison \(-30 < 0\), décroissante.

b) \(500 + 40n \geqslant 1\,200 - 30n \iff 70n \geqslant 700 \iff n \geqslant 10\). À partir du rang \(\boxed{n = 10}\).

🔍 Vérification : \(u(10) = 900 = v(10)\) ; ensuite \(u\) monte et \(v\) descend ✓