Modélisation quadratique
Cours
Un ballon lancé en l'air monte, ralentit, s'arrête une fraction de seconde puis redescend. Le chiffre d'affaires d'un vendeur augmente quand il baisse un peu ses prix… puis diminue s'il les baisse trop. Une arche de pont a la forme d'une courbe régulière. Toutes ces situations ont un point commun : la grandeur monte puis descend (ou l'inverse). Les fonctions polynômes de degré \(2\), dont la courbe est une parabole, modélisent ces comportements. Avec ce chapitre, tu sauras :
- reconnaître une parabole à partir de son expression ;
- trouver son axe de symétrie et son sommet (le maximum ou le minimum) ;
- trouver ses racines et son signe grâce à une forme factorisée ;
- utiliser ces fonctions pour résoudre des problèmes concrets.
1 La parabole y = ax²
La fonction carré \(x \mapsto x^2\), vue en seconde, a pour courbe une parabole. En multipliant par un nombre \(a\), on l'étire, on l'aplatit ou on la retourne.
Pour \(f(x) = 2x^2\), on a \(f(-2) = 8\), \(f(-1) = 2\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = 2\), \(f(2) = 8\). Les valeurs pour \(x\) et \(-x\) sont les mêmes : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Avec \(-2x^2\), toutes les valeurs changent de signe : la parabole est retournée.
La courbe de la fonction \(x \mapsto ax^2\) (avec \(a \ne 0\)) est une parabole :
- de sommet l'origine \(O(0 \,;\, 0)\) ;
- d'axe de symétrie l'axe des ordonnées (la droite \(x = 0\)) ;
- tournée vers le haut si \(a > 0\) (le sommet est un minimum), vers le bas si \(a < 0\) (le sommet est un maximum).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(ax^2\) si \(a > 0\) | ↘︎ | \(0\) | ↗︎ | ||
| \(ax^2\) si \(a < 0\) | ↗︎ | \(0\) | ↘︎ |
Étape 1 — Le signe de \(a\). \(a = -0{,}5 < 0\) : la parabole est tournée vers le bas.
Étape 2 — Le sommet. C'est \(O(0 \,;\, 0)\), un maximum : \(f(x) \leqslant 0\) pour tout \(x\).
Étape 3 — Des points. \(f(2) = -0{,}5 \times 4 = -2\) et, par symétrie, \(f(-2) = -2\).
🔍 Vérification : \(f(-2) = -0{,}5 \times (-2)^2 = -0{,}5 \times 4 = -2\) ✓.
- ❌ \((-2)^2 = -4\). ✅ Un carré est toujours positif : \((-2)^2 = 4\) (attention à la calculatrice : \(-2^2\) donne \(-4\) sans parenthèses).
- ❌ Croire que \(a\) change la position du sommet. ✅ Pour \(ax^2\), le sommet reste à l'origine ; \(a\) change l'ouverture et le sens.
Décris la parabole de \(g(x) = 3x^2\) : sens, sommet, variations.
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\(a = 3 > 0\) : tournée vers le haut, sommet \(O(0 \,;\, 0)\) (minimum) ; \(g\) est décroissante sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\).
\(y = ax^2\) : parabole de sommet \(O\), d'axe l'axe des ordonnées, vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\).
2 La parabole y = ax² + c
Ajouter une constante \(c\) décale toute la parabole verticalement.
La courbe de \(x \mapsto ax^2 + c\) est la parabole de \(y = ax^2\) décalée verticalement de \(c\) :
- sommet \(S(0 \,;\, c)\) ;
- axe de symétrie : l'axe des ordonnées ;
- même sens que \(ax^2\) (selon le signe de \(a\)).
Étape 1 — Sens et sommet. \(a = -1 < 0\) : vers le bas ; sommet \(S(0 \,;\, 9)\), qui est un maximum.
Étape 2 — Variations. \(g\) est croissante sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et décroissante sur \([0 \,;\, +\infty[\).
Étape 3 — Les racines. \(-x^2 + 9 = 0 \iff x^2 = 9 \iff x = 3\) ou \(x = -3\).
🔍 Vérification : \(-3^2 + 9 = 0\) ✓ et les racines sont symétriques par rapport à \(0\) ✓.
- ❌ Penser que \(c\) décale la parabole horizontalement. ✅ Il la décale verticalement : le sommet passe de \((0 \,;\, 0)\) à \((0 \,;\, c)\).
Donne le sommet et le sens de la parabole de \(h(x) = x^2 - 4\), puis ses racines.
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Vers le haut (\(a = 1 > 0\)), sommet \(S(0 \,;\, -4)\) (minimum). \(x^2 - 4 = 0 \iff x = 2\) ou \(x = -2\).
\(y = ax^2 + c\) : sommet \(S(0 \,;\, c)\), axe des ordonnées, sens donné par \(a\).
3 La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂)
Quand la fonction est écrite comme un produit de deux facteurs du premier degré, on lit directement ses racines, son axe et son signe.
\(f(x) = 2(x - 1)(x - 5)\) s'annule quand l'un des facteurs est nul, donc en \(x = 1\) et \(x = 5\). La parabole étant symétrique, son axe passe au milieu des deux racines : en \(x = 3\).
Pour \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) (avec \(a \ne 0\)) :
- les racines (les solutions de \(f(x) = 0\)) sont \(x_1\) et \(x_2\) ;
- l'axe de symétrie est la droite \(x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) (le milieu des racines) ;
- le sommet a pour abscisse \(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\) ; on calcule son ordonnée en remplaçant ;
- le signe : \(f(x)\) a le signe de \(a\) à l'extérieur des racines et le signe contraire entre les racines.
Étape 1 — Les racines. Produit nul : \(x = 1\) ou \(x = 5\).
Étape 2 — L'axe et le sommet. \(\dfrac{1 + 5}{2} = 3\) ; \(f(3) = 2 \times 2 \times (-2) = -8\). Sommet \(\boxed{S(3 \,;\, -8)}\), un minimum car \(a = 2 > 0\).
Étape 3 — Le signe.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(5\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x - 1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(x - 5\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Étape 4 — Les variations. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty \,;\, 3]\) et croissante sur \([3 \,;\, +\infty[\), de minimum \(-8\).
🔍 Vérification : en développant, \(f(x) = 2x^2 - 12x + 10\), et \(2 \times 9 - 36 + 10 = -8\) ✓.
- ❌ Racines de \(2(x - 1)(x + 3)\) : « \(1\) et \(3\) ». ✅ \(x + 3 = 0\) donne \(x = -3\) : les racines sont \(1\) et \(-3\).
- ❌ Oublier le coefficient \(a\) pour le signe. ✅ Avec \(a < 0\), tous les signes s'inversent.
Pour \(f(x) = (x + 1)(x - 3)\), donne les racines, l'axe et le sommet.
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Racines \(-1\) et \(3\) ; axe \(x = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1\) ; \(f(1) = 2 \times (-2) = -4\), donc \(S(1 \,;\, -4)\) (minimum).
\(a(x - x_1)(x - x_2)\) : racines \(x_1\), \(x_2\) ; axe au milieu ; signe de \(a\) à l'extérieur des racines.
4 La forme développée ax² + bx + c
Souvent, la fonction est donnée sous forme développée. On trouve quand même l'axe de symétrie, sans formule à apprendre, grâce à une astuce.
\(f(0) = c\) pour toute fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Le point \((0 \,;\, c)\) est sur la parabole ; par symétrie, il en existe un autre à la même hauteur. L'axe est au milieu de ces deux points.
- résoudre \(f(x) = c\), c'est-à-dire \(ax^2 + bx = 0\), en factorisant par \(x\) : \(x(ax + b) = 0\) ;
- les deux solutions ont la même image \(c\) : l'axe passe à mi-chemin ;
- calculer l'image de cette abscisse : c'est l'ordonnée du sommet.
Étape 1 — Résoudre \(f(x) = -5\). \(-x^2 + 6x - 5 = -5 \iff -x^2 + 6x = 0 \iff x(-x + 6) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 6\).
Étape 2 — L'axe. Milieu de \(0\) et \(6\) : la droite \(x = 3\).
Étape 3 — Le sommet. \(f(3) = -9 + 18 - 5 = 4\) : \(\boxed{S(3 \,;\, 4)}\), un maximum car \(a = -1 < 0\).
🔍 Vérification : \(f(x) = -(x - 1)(x - 5)\) (on le vérifie en développant) : les racines \(1\) et \(5\) ont bien pour milieu \(3\) ✓.
- ❌ Résoudre \(f(x) = 0\) sans savoir factoriser. ✅ L'équation \(f(x) = c\) se factorise toujours par \(x\) : c'est l'astuce.
- ❌ Prendre la racine \(6\) pour le sommet. ✅ Le sommet est au milieu des deux solutions, en \(x = 3\).
Trouve le sommet de la parabole de \(f(x) = x^2 - 8x + 10\).
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\(f(x) = 10 \iff x^2 - 8x = 0 \iff x(x - 8) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 8\). L'axe est \(x = 4\) et \(f(4) = 16 - 32 + 10 = -6\) : \(S(4 \,;\, -6)\), un minimum.
Pour \(ax^2 + bx + c\), on résout \(f(x) = c\) (factorisation par \(x\)) ; l'axe est au milieu des deux solutions ; le sommet se calcule en remplaçant.
5 Modéliser avec une fonction de degré 2
Dans un problème, le sommet de la parabole donne la valeur maximale (ou minimale) de la grandeur étudiée.
La hauteur (en m) d'un ballon au bout de \(t\) secondes est \(h(t) = -5t^2 + 20t\).
Étape 1 — Factoriser. \(h(t) = -5t(t - 4)\) : le ballon est au sol (\(h = 0\)) en \(t = 0\) et \(t = 4\).
Étape 2 — Le sommet. Milieu : \(t = 2\) ; \(h(2) = -20 + 40 = 20\).
Étape 3 — Conclure. Le ballon atteint sa hauteur maximale, \(\boxed{20 \text{ m}}\), au bout de \(2\) secondes, et retombe au bout de \(4\) secondes.
🔍 Vérification : \(h(1) = 15\) et \(h(3) = 15\) : même hauteur à égale distance du sommet ✓.
- ❌ Oublier de vérifier le sens de la parabole. ✅ Un maximum n'existe que si \(a < 0\) (parabole vers le bas).
- ❌ Donner seulement l'abscisse du sommet quand on demande la valeur maximale. ✅ La valeur maximale est l'ordonnée du sommet.
En vendant un objet au prix \(p\) (en euros), un commerçant réalise une recette \(R(p) = p(60 - 2p)\). Pour quel prix la recette est-elle maximale ?
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\(R(p) = 0\) pour \(p = 0\) et \(p = 30\) ; l'axe est \(p = 15\) ; \(R(15) = 15 \times 30 = 450\). La recette est maximale (\(450\) €) pour un prix de \(15\) €.
Modéliser par un polynôme de degré \(2\) → racines (forme factorisée) → axe au milieu → sommet = maximum ou minimum.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Comment est tournée la parabole de \(f(x) = -0{,}5x^2\) ?
\(a = -0{,}5 < 0\) : la parabole est tournée vers le bas, et pour \(ax^2\) le sommet est l'origine.
Quel est le sommet de la parabole de \(g(x) = -x^2 + 9\) ?
\(ax^2 + c\) a pour sommet \((0 \,;\, c)\) : ici \((0 \,;\, 9)\), un maximum.
Quelles sont les racines de \(f(x) = 2(x - 1)(x + 3)\) ?
Produit nul : \(x - 1 = 0\) donne \(1\) et \(x + 3 = 0\) donne \(-3\).
Revoir dans le cours : 3. La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂)
Une parabole coupe l'axe des abscisses en \(x = 2\) et \(x = 8\). Quelle est l'abscisse de son sommet ?
Réponse attendue : \(5\)
L'axe de symétrie passe au milieu des racines : \(\dfrac{2 + 8}{2} = 5\).
Revoir dans le cours : 3. La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂)
Vrai ou faux : \((x - 2)(x - 6)\) est négatif pour \(x\) compris entre \(2\) et \(6\).
Le coefficient \(a = 1\) est positif : le produit est négatif entre les racines.
Revoir dans le cours : 3. La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂)
Pour trouver l'axe de \(f(x) = x^2 - 8x + 10\), on résout \(f(x) = 10\). Quelles solutions obtient-on ?
\(x^2 - 8x = 0 \iff x(x - 8) = 0\) : \(x = 0\) ou \(x = 8\), donc l'axe est \(x = 4\).
La hauteur d'un ballon est \(h(t) = -5t^2 + 20t\) (en m). Quelle est sa hauteur maximale, en mètres ?
Réponse attendue : \(20\)
\(h(t) = -5t(t - 4)\) : racines \(0\) et \(4\), sommet en \(t = 2\), et \(h(2) = -20 + 40 = 20\).
Revoir dans le cours : 5. Modéliser avec une fonction de degré 2
À revoir dans le cours :
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Forme | Sommet | Axe | Ce qu'on lit |
|---|---|---|---|
| \(ax^2\) | \(O(0 \,;\, 0)\) | \(x = 0\) | sens selon le signe de \(a\) |
| \(ax^2 + c\) | \(S(0 \,;\, c)\) | \(x = 0\) | décalage vertical de \(c\) |
| \(a(x - x_1)(x - x_2)\) | abscisse \(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\) | milieu des racines | racines \(x_1\), \(x_2\) et signe |
| \(ax^2 + bx + c\) | on résout \(f(x) = c\) | milieu des deux solutions | — |
- \(a > 0\) : parabole vers le haut, sommet = minimum ; \(a < 0\) : vers le bas, sommet = maximum.
- Signe de \(a(x - x_1)(x - x_2)\) : signe de \(a\) à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles.
- Aucune formule n'est à apprendre pour le sommet : on utilise la symétrie.
Pièges à éviter
- \((-2)^2 = 4\) ; sur la calculatrice, mettre des parenthèses.
- Racine de \(x + 3\) : c'est \(-3\).
- Penser au signe de \(a\) pour le sens et pour le signe de \(f\).
- Valeur maximale = ordonnée du sommet.
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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Pour chaque fonction, dis si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, et donne son sommet :
a) \(f(x) = 3x^2\)
b) \(g(x) = -0{,}5x^2\)
c) \(h(x) = x^2 - 4\)
d) \(k(x) = -2x^2 + 5\)
Voir la correction›
le signe de \(a\) donne le sens ; \(c\) donne l'ordonnée du sommet.
| Fonction | Sens | Sommet |
|---|---|---|
| a) \(3x^2\) | vers le haut | \(O(0 \,;\, 0)\), minimum |
| b) \(-0{,}5x^2\) | vers le bas | \(O(0 \,;\, 0)\), maximum |
| c) \(x^2 - 4\) | vers le haut | \((0 \,;\, -4)\), minimum |
| d) \(-2x^2 + 5\) | vers le bas | \((0 \,;\, 5)\), maximum |
🔍 Vérification : d) \(k(0) = 5\) et \(k(1) = 3 < 5\) ✓
Soit \(f(x) = 2x^2\). Calcule \(f(-3)\), \(f(0)\), \(f(1{,}5)\) et \(f(3)\). Que remarques-tu ?
Voir la correction›
calculer le carré d'abord, puis multiplier par \(2\).
\(f(-3) = 2 \times 9 = \boxed{18}\) ; \(f(0) = \boxed{0}\) ; \(f(1{,}5) = 2 \times 2{,}25 = \boxed{4{,}5}\) ; \(f(3) = \boxed{18}\).
\(f(-3) = f(3)\) : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
🔍 Vérification : \((-3)^2 = 9 = 3^2\) ✓
Soit \(g(x) = -x^2 + 9\). Dresse le tableau de variations de \(g\) et donne son maximum.
Voir la correction›
\(a = -1 < 0\), sommet \((0 \,;\, 9)\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ↗︎ | \(9\) | ↘︎ |
Le maximum de \(g\) est \(\boxed{9}\), atteint en \(x = 0\).
🔍 Vérification : \(g(1) = 8 < 9\) et \(g(-1) = 8 < 9\) ✓
Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x + 3)\).
a) Donne les racines de \(f\).
b) Donne l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet.
Voir la correction›
produit nul, puis milieu des racines.
a) \(x - 1 = 0\) ou \(x + 3 = 0\) : racines \(\boxed{1 \text{ et } -3}\).
b) Axe : \(x = \dfrac{1 + (-3)}{2} = \boxed{-1}\). \(f(-1) = 2 \times (-2) \times 2 = -8\) : sommet \(\boxed{S(-1 \,;\, -8)}\).
🔍 Vérification : \(a = 2 > 0\), le sommet est un minimum, et \(-8 < 0\) est bien entre les racines ✓
Étudie le signe de \((x - 2)(x - 6)\) à l'aide d'un tableau de signes.
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une ligne par facteur.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(6\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x - 2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(x - 6\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |||
| produit | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Négatif entre \(2\) et \(6\), positif à l'extérieur.
🔍 Vérification : en \(x = 4\), \((2)(-2) = -4 < 0\) ✓
Associe chaque description à une fonction parmi \(f_1(x) = -x^2 + 2\), \(f_2(x) = 2x^2\), \(f_3(x) = (x - 1)(x - 3)\), \(f_4(x) = -3x^2\) :
a) sommet \(O\), vers le haut ;
b) sommet \((0 \,;\, 2)\), vers le bas ;
c) racines \(1\) et \(3\) ;
d) sommet \(O\), vers le bas.
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lire le sommet et le sens, ou les racines.
a) \(f_2\)
b) \(f_1\)
c) \(f_3\)
d) \(f_4\)
🔍 Vérification : \(f_3(1) = 0\) et \(f_3(3) = 0\) ✓
Soit \(f(x) = x^2 + 4x + 1\).
a) Résous \(f(x) = 1\).
b) Déduis-en l'axe de symétrie, puis le sommet de la parabole.
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résoudre \(f(x) = c\) en factorisant par \(x\).
a) \(x^2 + 4x + 1 = 1 \iff x^2 + 4x = 0 \iff x(x + 4) = 0 \iff \boxed{x = 0 \text{ ou } x = -4}\).
b) Axe : \(x = \dfrac{0 + (-4)}{2} = -2\). \(f(-2) = 4 - 8 + 1 = -3\) : sommet \(\boxed{S(-2 \,;\, -3)}\) (minimum, \(a = 1 > 0\)).
🔍 Vérification : \(f(-1) = 1 - 4 + 1 = -2\) et \(f(-3) = 9 - 12 + 1 = -2\) : symétriques autour de \(-2\) ✓
Développe \((x - 1)(x - 5)\).
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double distributivité.
\((x - 1)(x - 5) = x^2 - 5x - x + 5 = \boxed{x^2 - 6x + 5}\).
🔍 Vérification : en \(x = 0\) : \((-1)(-5) = 5\) ✓
Une parabole coupe l'axe des abscisses en \(x = 2\) et \(x = 8\). Quelle est l'équation de son axe de symétrie ?
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l'axe passe au milieu des racines.
\(\dfrac{2 + 8}{2} = 5\) : l'axe est la droite \(\boxed{x = 5}\).
🔍 Vérification : \(5\) est à distance \(3\) de chaque racine ✓
a) Factorise \(x^2 - 9\).
b) Donne les racines et le signe de \(x^2 - 9\).
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\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
a) \(\boxed{x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)}\)
b) Racines \(\boxed{-3 \text{ et } 3}\). \(a = 1 > 0\) : \(x^2 - 9 > 0\) pour \(x < -3\) ou \(x > 3\), et \(x^2 - 9 < 0\) pour \(-3 < x < 3\).
🔍 Vérification : en \(x = 0\), \(-9 < 0\) ✓
Dresse le tableau de variations de \(f(x) = 3(x - 1)(x - 5)\) sur \(\mathbb{R}\).
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\(a = 3 > 0\), racines \(1\) et \(5\), axe \(x = 3\).
\(f(3) = 3 \times 2 \times (-2) = -12\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘︎ | \(-12\) | ↗︎ |
🔍 Vérification : \(f(1) = 0 > -12\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
La hauteur d'un ballon (en m) au bout de \(t\) secondes est \(h(t) = -5t^2 + 20t\).
a) Factorise \(h(t)\) et trouve quand le ballon est au sol.
b) Quelle est la hauteur maximale ? À quel instant ?
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factoriser par \(t\), puis milieu des racines.
a) \(h(t) = -5t(t - 4)\) : le ballon est au sol pour \(\boxed{t = 0 \text{ et } t = 4}\) s.
b) Milieu : \(t = 2\) ; \(h(2) = -20 + 40 = \boxed{20 \text{ m}}\), au bout de \(\boxed{2 \text{ s}}\).
🔍 Vérification : \(-5 \times 2 \times (2 - 4) = 20\) ✓
Le chiffre d'affaires (en euros) d'un vendeur, selon le prix \(p\) d'un article, est \(R(p) = p(100 - 4p)\).
a) Pour quels prix \(R(p) = 0\) ?
b) Pour quel prix le chiffre d'affaires est-il maximal ? Quel est ce maximum ?
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produit nul, puis sommet au milieu.
a) \(p = 0\) ou \(100 - 4p = 0\), soit \(\boxed{p = 0 \text{ ou } p = 25}\).
b) Axe : \(p = 12{,}5\) ; \(R(12{,}5) = 12{,}5 \times 50 = \boxed{625 \text{ €}}\) pour un prix de \(\boxed{12{,}50 \text{ €}}\).
🔍 Vérification : \(R(10) = 10 \times 60 = 600 < 625\) et \(R(15) = 15 \times 40 = 600 < 625\) ✓
Une arche de pont est modélisée par \(y = -0{,}02x(x - 100)\), où \(x\) et \(y\) sont en mètres et \(0 \leqslant x \leqslant 100\).
a) Quelle est la largeur de l'arche au sol ?
b) Quelle est sa hauteur maximale ?
c) Quelle est la hauteur à \(20\) m d'un pied de l'arche ?
Voir la correction›
racines \(0\) et \(100\), sommet au milieu.
a) \(y = 0\) pour \(x = 0\) et \(x = 100\) : largeur \(\boxed{100 \text{ m}}\).
b) Sommet en \(x = 50\) : \(y = -0{,}02 \times 50 \times (-50) = \boxed{50 \text{ m}}\).
c) \(y = -0{,}02 \times 20 \times (-80) = \boxed{32 \text{ m}}\).
🔍 Vérification : à \(20\) m de l'autre pied (\(x = 80\)), on trouve aussi \(-0{,}02 \times 80 \times (-20) = 32\) m ✓
Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\). Résous \(f(x) = -3\), puis détermine le sommet de la parabole. Est-ce un maximum ou un minimum ?
Voir la correction›
\(f(x) = c\) avec \(c = -3\).
\(-2x^2 + 8x - 3 = -3 \iff -2x^2 + 8x = 0 \iff x(-2x + 8) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 4\).
Axe \(x = 2\) ; \(f(2) = -8 + 16 - 3 = 5\) : sommet \(\boxed{S(2 \,;\, 5)}\). Comme \(a = -2 < 0\), c'est un maximum.
🔍 Vérification : \(f(1) = -2 + 8 - 3 = 3 < 5\) ✓
Une fonction de degré \(2\) a pour racines \(-1\) et \(3\), et \(f(0) = -6\).
a) Justifie que \(f(x) = a(x + 1)(x - 3)\) et trouve \(a\).
b) Développe \(f(x)\).
Voir la correction›
connaissant les racines, il ne reste qu'à trouver \(a\).
a) Les racines \(-1\) et \(3\) donnent les facteurs \(x + 1\) et \(x - 3\) : \(f(x) = a(x + 1)(x - 3)\). Avec \(f(0) = -6\) : \(a \times 1 \times (-3) = -6\), donc \(\boxed{a = 2}\).
b) \(f(x) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = \boxed{2x^2 - 4x - 6}\).
🔍 Vérification : \(f(0) = -6\) ✓ et \(f(3) = 18 - 12 - 6 = 0\) ✓
Résous \(-(x + 2)(x - 4) \geqslant 0\) à l'aide d'un tableau de signes.
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tableau de signes avec le facteur \(-1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(4\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-1\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | ||||
| \(x + 2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(x - 4\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |||
| produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
\(\boxed{S = [-2 \,;\, 4]}\) (inégalité large : on garde les racines).
🔍 Vérification : en \(x = 0\) : \(-(2)(-4) = 8 \geqslant 0\) ✓
La parabole d'équation \(y = ax^2\) passe par le point \((2 \,;\, 12)\). Trouve \(a\).
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remplacer les coordonnées du point.
\(12 = a \times 2^2 = 4a\), donc \(\boxed{a = 3}\).
🔍 Vérification : \(3 \times 4 = 12\) ✓
La parabole d'équation \(y = ax^2 + c\) passe par \((0 \,;\, 5)\) et \((2 \,;\, -3)\). Trouve \(a\) et \(c\).
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un point sur l'axe des ordonnées donne \(c\) directement.
Avec \((0 \,;\, 5)\) : \(c = 5\). Avec \((2 \,;\, -3)\) : \(4a + 5 = -3\), donc \(a = -2\). \(\boxed{y = -2x^2 + 5}\).
🔍 Vérification : \(-2 \times 4 + 5 = -3\) ✓
Sur une période de \(12\) ans, la population d'insectes d'une zone (en milliers) est modélisée par \(P(t) = -2t^2 + 24t + 100\), \(t\) en années.
a) Résous \(P(t) = 100\).
b) Quand la population est-elle maximale ? Quel est ce maximum ?
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\(P(t) = 100\) est l'équation « \(f(x) = c\) ».
a) \(-2t^2 + 24t = 0 \iff t(-2t + 24) = 0 \iff \boxed{t = 0 \text{ ou } t = 12}\).
b) Axe \(t = 6\) : \(P(6) = -72 + 144 + 100 = \boxed{172}\) milliers d'insectes, au bout de \(\boxed{6 \text{ ans}}\).
🔍 Vérification : \(a = -2 < 0\) : c'est bien un maximum ✓
Un économiste modélise les recettes fiscales \(R\) (en millions d'euros) selon le taux d'imposition \(t\) (en %) par \(R(t) = 2t(100 - t)\), pour \(0 \leqslant t \leqslant 100\).
a) Que valent \(R(0)\) et \(R(100)\) ? Interprète.
b) Quel taux rend les recettes maximales ?
c) Compare \(R(30)\) et \(R(70)\).
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racines \(0\) et \(100\), maximum au milieu.
a) \(R(0) = R(100) = 0\) : sans impôt, aucune recette ; avec un impôt de \(100\,\%\), plus personne n'a intérêt à déclarer de revenu.
b) Axe \(t = 50\) : recettes maximales pour un taux de \(\boxed{50\,\%}\) (\(R(50) = 2 \times 50 \times 50 = 5\,000\) millions).
c) \(R(30) = 2 \times 30 \times 70 = 4\,200\) et \(R(70) = 2 \times 70 \times 30 = 4\,200\) : égales, par symétrie autour de \(50\).
🔍 Vérification : \(30\) et \(70\) sont à égale distance (\(20\)) de \(50\) ✓
Ce modèle très simplifié illustre une idée débattue en économie (au-delà d'un certain taux, augmenter l'impôt peut faire baisser les recettes) ; la position réelle du maximum est discutée.
Soit \(g(x) = (x - 2)(x - 2)\).
a) Développe \(g(x)\).
b) Combien \(g\) a-t-elle de racines ? Quel est le sommet de sa parabole ?
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développer ; les deux racines sont confondues.
a) \(g(x) = x^2 - 4x + 4\).
b) Une seule racine, \(\boxed{2}\) (dite « double »). L'axe est \(x = 2\) et \(g(2) = 0\) : le sommet est \(\boxed{S(2 \,;\, 0)}\), la parabole touche l'axe des abscisses en ce point.
🔍 Vérification : \(g(x) = (x - 2)^2 \geqslant 0\) pour tout \(x\) ✓
Un rectangle a un périmètre de \(20\) cm. On note \(x\) sa largeur.
a) Montre que son aire est \(A(x) = x(10 - x)\).
b) Quelle largeur rend l'aire maximale ? Quelle est cette aire ?
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exprimer la longueur avec le périmètre.
a) Demi-périmètre : \(10\) cm, donc longueur \(= 10 - x\) et \(A(x) = x(10 - x)\).
b) Racines \(0\) et \(10\), axe \(x = 5\) : \(A(5) = 25\). L'aire est maximale (\(\boxed{25 \text{ cm}^2}\)) pour une largeur de \(\boxed{5 \text{ cm}}\) : le rectangle est un carré.
🔍 Vérification : \(A(4) = 24 < 25\) ✓
La trajectoire d'un ballon de basket est modélisée par \(y = -0{,}1x^2 + x + 1{,}5\) (\(x\) : distance horizontale en m, \(y\) : hauteur en m).
a) À quelle hauteur le ballon est-il lancé ?
b) Résous \(y = 1{,}5\) et déduis-en la hauteur maximale.
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la hauteur de lancer est \(y(0) = c\) ; puis l'astuce \(f(x) = c\).
a) \(y(0) = \boxed{1{,}5 \text{ m}}\).
b) \(-0{,}1x^2 + x = 0 \iff x(-0{,}1x + 1) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 10\). Axe \(x = 5\) : \(y(5) = -2{,}5 + 5 + 1{,}5 = \boxed{4 \text{ m}}\).
🔍 Vérification : \(y(4) = -1{,}6 + 4 + 1{,}5 = 3{,}9 < 4\) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Le bénéfice (en milliers d'euros) d'une entreprise qui produit \(q\) tonnes est \(B(q) = -q^2 + 40q - 300\).
a) Vérifie que \(B(q) = -(q - 10)(q - 30)\).
b) Pour quelles productions l'entreprise fait-elle un bénéfice ?
c) Quel est le bénéfice maximal ?
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vérifier la factorisation, puis signe et sommet.
a) \(-(q - 10)(q - 30) = -(q^2 - 40q + 300) = -q^2 + 40q - 300\) ✓.
b) \(a = -1 < 0\) : \(B(q) > 0\) entre les racines, pour \(\boxed{10 < q < 30}\).
c) Axe \(q = 20\) : \(B(20) = -(10)(-10) = \boxed{100}\) milliers d'euros.
🔍 Vérification : \(-400 + 800 - 300 = 100\) ✓
Une parabole a pour sommet \(S(3 \,;\, 8)\) et coupe l'axe des abscisses en \(x = 1\).
a) Quelle est l'autre racine ? Justifie.
b) Écris \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) et trouve \(a\).
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l'axe de symétrie passe par le sommet, au milieu des racines.
a) L'axe est \(x = 3\) ; la racine \(1\) est à distance \(2\) à gauche, donc l'autre est à distance \(2\) à droite : \(\boxed{x = 5}\).
b) \(f(x) = a(x - 1)(x - 5)\) et \(f(3) = a \times 2 \times (-2) = -4a = 8\), donc \(\boxed{a = -2}\) : \(f(x) = -2(x - 1)(x - 5)\).
🔍 Vérification : \(f(3) = -2 \times 2 \times (-2) = 8\) ✓
Le câble d'un pont suspendu a pour équation \(y = 0{,}0025x^2 + 10\), pour \(-100 \leqslant x \leqslant 100\) (\(x\), \(y\) en mètres).
a) À quelle hauteur est le point le plus bas du câble ?
b) À quelle hauteur le câble est-il attaché aux pylônes (\(x = \pm 100\)) ?
c) En quels points le câble est-il à \(20\) m de hauteur (arrondis au dixième) ?
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forme \(ax^2 + c\), puis équation \(x^2 = k\).
a) Sommet \((0 \,;\, 10)\) : point le plus bas à \(\boxed{10 \text{ m}}\).
b) \(y(100) = 0{,}0025 \times 10\,000 + 10 = 25 + 10 = \boxed{35 \text{ m}}\).
c) \(0{,}0025x^2 + 10 = 20 \iff x^2 = 4\,000 \iff x = \pm\sqrt{4\,000} \approx \boxed{\pm 63{,}2 \text{ m}}\).
🔍 Vérification : \(0{,}0025 \times 63{,}2^2 \approx 9{,}99\), et \(9{,}99 + 10 \approx 20\) ✓
Une fusée monte selon \(h(t) = -4{,}9t^2 + 29{,}4t\) (\(h\) en m, \(t\) en s).
a) Quand la fusée retombe-t-elle au niveau du sol ?
b) Quelle hauteur maximale atteint-elle ?
c) Vérifie que \(h(t) - 24{,}5 = -4{,}9(t - 1)(t - 5)\). Pendant combien de temps est-elle à plus de \(24{,}5\) m ?
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factoriser par \(t\) ; puis utiliser la forme factorisée donnée.
a) \(h(t) = t(-4{,}9t + 29{,}4) = 0 \iff t = 0\) ou \(t = 6\) : retour au sol au bout de \(\boxed{6 \text{ s}}\).
b) Axe \(t = 3\) : \(h(3) = -44{,}1 + 88{,}2 = \boxed{44{,}1 \text{ m}}\).
c) \(-4{,}9(t - 1)(t - 5) = -4{,}9(t^2 - 6t + 5) = -4{,}9t^2 + 29{,}4t - 24{,}5 = h(t) - 24{,}5\) ✓. Avec \(a = -4{,}9 < 0\), c'est positif entre \(1\) et \(5\) : la fusée est au-dessus de \(24{,}5\) m pendant \(\boxed{4 \text{ s}}\).
🔍 Vérification : \(h(1) = -4{,}9 + 29{,}4 = 24{,}5\) ✓
Si un concert coûte \(p\) euros, l'organisateur vend \(500 - 10p\) billets.
a) Exprime la recette \(R(p)\).
b) Pour quel prix la recette est-elle maximale ? Quelle est-elle ?
c) Compare avec les recettes pour \(p = 20\) et \(p = 30\).
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recette \(=\) prix \(\times\) nombre de billets.
a) \(\boxed{R(p) = p(500 - 10p)}\).
b) Racines \(0\) et \(50\), axe \(p = 25\) : \(R(25) = 25 \times 250 = \boxed{6\,250 \text{ €}}\) pour un billet à \(\boxed{25 \text{ €}}\).
c) \(R(20) = 20 \times 300 = 6\,000\) € et \(R(30) = 30 \times 200 = 6\,000\) € : toutes deux inférieures, et égales par symétrie.
🔍 Vérification : \(500 - 10 \times 25 = 250\) billets ✓
Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\), avec \(a \ne 0\).
a) Montre que \(f(x) = c \iff x = 0\) ou \(x = -\dfrac{b}{a}\).
b) Déduis-en que l'axe de symétrie de la parabole est la droite \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
c) Vérifie avec \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\).
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factoriser \(ax^2 + bx\) par \(x\).
a) \(f(x) = c \iff ax^2 + bx = 0 \iff x(ax + b) = 0 \iff x = 0\) ou \(ax + b = 0\), c'est-à-dire \(x = -\dfrac{b}{a}\) (car \(a \ne 0\)) ✓.
b) Les points d'abscisses \(0\) et \(-\dfrac{b}{a}\) ont la même ordonnée \(c\) : par symétrie, l'axe passe au milieu, en \(x = \dfrac{1}{2}\left(0 - \dfrac{b}{a}\right) = \boxed{-\dfrac{b}{2a}}\).
c) Avec \(a = -1\) et \(b = 6\) : \(-\dfrac{6}{2 \times (-1)} = 3\) ✓ (on retrouve l'axe \(x = 3\) du cours).
🔍 Vérification : la formule n'est pas à apprendre ; elle se retrouve en quelques lignes avec l'astuce ✓
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