Statistiques à deux variables
Cours
Les vaccinés tombent-ils moins malades ? Le niveau des océans monte-t-il régulièrement ? Les ventes de glaces dépendent-elles de la température ? Pour répondre, on étudie deux caractères à la fois sur les mêmes individus, et on cherche s'ils sont liés. C'est ce que font l'Insee, les médecins ou les climatologues avec leurs bases de données. Avec ce chapitre, tu sauras :
- lire et compléter un tableau croisé, calculer des fréquences conditionnelles ;
- représenter deux caractères numériques par un nuage de points et calculer le point moyen ;
- tracer une droite d'ajustement et l'utiliser pour estimer des valeurs ;
- garder un regard critique : une prévision lointaine ou un lien entre deux caractères ne prouvent pas tout.
Les données de ce chapitre sont fictives ou simplifiées, sauf mention contraire.
1 Le tableau croisé d'effectifs
Quand on interroge des personnes sur deux questions dont les réponses sont des catégories (oui / non, une classe, un sexe…), on range les résultats dans un tableau à double entrée.
On demande à \(200\) élèves leur classe et s'ils font du sport. Un tableau croisé permet de comparer : la proportion de sportifs est-elle la même en seconde et en première ?
Un tableau croisé d'effectifs donne, pour chaque couple de modalités, le nombre d'individus concernés. La dernière ligne et la dernière colonne contiennent les totaux (les « marges »).
| Sport : oui | Sport : non | Total | |
|---|---|---|---|
| Seconde | \(60\) | \(40\) | \(100\) |
| Première | \(45\) | \(55\) | \(100\) |
| Total | \(105\) | \(95\) | \(200\) |
- la fréquence marginale d'une modalité est son total divisé par l'effectif total : la part des sportifs est \(\dfrac{105}{200} = 52{,}5\,\%\) ;
- la fréquence conditionnelle de B parmi A est \(\dfrac{\text{effectif de « A et B »}}{\text{effectif de A}}\) : parmi les élèves de seconde, la part de sportifs est \(\dfrac{60}{100} = 60\,\%\). En mots : une fréquence conditionnelle se calcule à l'intérieur d'un groupe ; le dénominateur est l'effectif de ce groupe.
Étape 1 — Parmi les secondes, part des sportifs. Le groupe est « seconde » (\(100\) élèves) : \(\dfrac{60}{100} = \boxed{60\,\%}\).
Étape 2 — Parmi les sportifs, part des secondes. Le groupe est « sportifs » (\(105\) élèves) : \(\dfrac{60}{105} \approx \boxed{57{,}1\,\%}\).
🔍 Vérification : même numérateur \(60\), mais pas le même groupe, donc pas le même dénominateur ✓.
- ❌ Confondre « parmi les secondes, \(60\,\%\) font du sport » et « parmi les sportifs, \(60\,\%\) sont en seconde ». ✅ Repère le mot « parmi » : il donne le groupe, donc le dénominateur.
- ❌ Diviser par l'effectif total pour une fréquence conditionnelle. ✅ On divise par l'effectif du groupe.
Avec le même tableau, calcule la part des sportifs parmi les élèves de première, puis la part des élèves de première parmi les non-sportifs.
Voir la réponseMasquer la réponse
Parmi les premières, \(\dfrac{45}{100} = 45\,\%\) font du sport. Parmi les non-sportifs (\(95\)), \(\dfrac{55}{95} \approx 57{,}9\,\%\) sont en première.
Fréquence marginale \(= \dfrac{\text{total de la modalité}}{\text{effectif total}}\) ; fréquence conditionnelle « parmi A » \(= \dfrac{\text{effectif de A et B}}{\text{effectif de A}}\).
2 Comparer et représenter un croisement
Pour savoir si deux caractères sont liés, on compare des fréquences conditionnelles calculées dans des groupes différents.
\(60\,\%\) des secondes font du sport, contre \(45\,\%\) des premières. Si le sport ne dépendait pas de la classe, ces deux pourcentages seraient à peu près égaux. L'écart suggère un lien (dans cet échantillon).
- calculer la fréquence conditionnelle d'une même modalité dans chaque groupe ;
- les comparer (on peut les représenter par un diagramme en barres, une barre par groupe) ;
- conclure avec prudence : « dans cet échantillon, … ».
(données fictives) : sur \(1\,000\) personnes, \(600\) sont vaccinées et \(30\) d'entre elles sont tombées malades ; parmi les \(400\) non vaccinées, \(60\) sont tombées malades.
Étape 1 — Les deux fréquences conditionnelles. Parmi les vaccinés : \(\dfrac{30}{600} = 5\,\%\) de malades. Parmi les non-vaccinés : \(\dfrac{60}{400} = 15\,\%\).
Étape 2 — Comparer. Les non-vaccinés sont trois fois plus souvent malades : dans cet échantillon, la vaccination est associée à moins de maladie.
Étape 3 — Une autre lecture. Parmi les \(90\) malades, \(\dfrac{30}{90} \approx 33\,\%\) sont vaccinés.
🔍 Vérification : \(30 + 60 = 90\) malades au total ✓.
- ❌ « Un tiers des malades sont vaccinés, donc le vaccin ne marche pas. » ✅ Pour juger le vaccin, on compare les taux de malades parmi les vaccinés et parmi les non-vaccinés.
- ❌ Conclure à une cause dès qu'on voit un lien. ✅ Un lien statistique ne prouve pas qu'un caractère cause l'autre.
Dans un lycée, \(80\) des \(200\) filles et \(50\) des \(250\) garçons font partie d'une chorale. Compare la participation à la chorale chez les filles et chez les garçons.
Voir la réponseMasquer la réponse
Parmi les filles, \(\dfrac{80}{200} = 40\,\%\) ; parmi les garçons, \(\dfrac{50}{250} = 20\,\%\). Dans ce lycée, les filles participent deux fois plus souvent à la chorale.
Pour étudier un lien, on compare des fréquences conditionnelles dans des groupes différents. Lien statistique ne veut pas dire cause.
3 Nuage de points et point moyen
Quand les deux caractères sont des nombres (une année et un nombre d'abonnés, une température et des ventes), on représente chaque individu par un point.
On dispose de \(n\) couples de valeurs \((x_1 \,;\, y_1)\), \((x_2 \,;\, y_2)\), …, \((x_n \,;\, y_n)\). Le nuage de points est l'ensemble des points de coordonnées \((x_i \,;\, y_i)\) dans un repère. Le point moyen \(G\) a pour coordonnées les moyennes : \(x_G = \bar{x} = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\) et \(y_G = \bar{y} = \dfrac{y_1 + \cdots + y_n}{n}\).
\(x\) est le rang de l'année, \(y\) le nombre d'abonnés en milliers.
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(5{,}8\) | \(7{,}1\) | \(8{,}1\) |
Étape 1 — La moyenne des \(x\). \(\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5\).
Étape 2 — La moyenne des \(y\). \(\bar{y} = \dfrac{3 + 4 + 5 + 5{,}8 + 7{,}1 + 8{,}1}{6} = \dfrac{33}{6} = 5{,}5\).
Étape 3 — Conclure. Le point moyen est \(\boxed{G(3{,}5 \,;\, 5{,}5)}\).
🔍 Vérification : \(G\) est au milieu du nuage, entre le premier et le dernier point ✓.
- ❌ Relier les points du nuage. ✅ On laisse des points isolés : la droite d'ajustement viendra ensuite.
- ❌ Calculer le point moyen avec le premier et le dernier point seulement. ✅ On fait la moyenne de toutes les valeurs.
Calcule le point moyen de la série \(x\) : \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) et \(y\) : \(2\) ; \(4\) ; \(5\) ; \(9\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(\bar{x} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\) et \(\bar{y} = \dfrac{20}{4} = 5\), donc \(G(2{,}5 \,;\, 5)\).
Nuage = points \((x_i \,;\, y_i)\) non reliés ; point moyen \(G(\bar{x} \,;\, \bar{y})\).
4 Ajustement affine
Si les points du nuage sont presque alignés, on les remplace par une droite qui passe au plus près d'eux : c'est un ajustement affine.
Dans le nuage des abonnés, les points montent régulièrement d'environ \(1\) millier par an. Une droite résume cette tendance et permet de faire des estimations.
Un ajustement affine consiste à choisir une droite d'équation \(y = ax + b\) proche des points du nuage. Il existe plusieurs méthodes :
- au jugé : on trace à la règle une droite qui passe « au milieu » des points, souvent par le point moyen ;
- méthode de Mayer : on coupe la série en deux groupes de même taille, on calcule le point moyen \(G_1\) et \(G_2\) de chaque groupe, et on trace la droite \((G_1G_2)\) ;
- moindres carrés : la calculatrice ou le tableur donnent la droite qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux. Aucune théorie n'est demandée : on lit \(a\) et \(b\) sur l'outil.
La droite de Mayer et la droite des moindres carrés passent par le point moyen \(G\) du nuage.
Étape 1 — Premier groupe (\(x = 1, 2, 3\)). \(G_1\left(\dfrac{1 + 2 + 3}{3} \,;\, \dfrac{3 + 4 + 5}{3}\right) = G_1(2 \,;\, 4)\).
Étape 2 — Second groupe (\(x = 4, 5, 6\)). \(G_2\left(\dfrac{4 + 5 + 6}{3} \,;\, \dfrac{5{,}8 + 7{,}1 + 8{,}1}{3}\right) = G_2(5 \,;\, 7)\).
Étape 3 — La droite \((G_1G_2)\). Coefficient directeur : \(a = \dfrac{7 - 4}{5 - 2} = 1\). Avec \(G_1\) : \(4 = 1 \times 2 + b\), donc \(b = 2\). La droite de Mayer est \(\boxed{y = x + 2}\).
🔍 Vérification : le point moyen \(G(3{,}5 \,;\, 5{,}5)\) est bien sur la droite : \(3{,}5 + 2 = 5{,}5\) ✓. (La calculatrice donne, par les moindres carrés, \(y \approx 1{,}017x + 1{,}94\) : très proche.)
- ❌ Faire un ajustement affine sur un nuage qui forme une courbe. ✅ On vérifie d'abord sur le graphique que les points sont à peu près alignés.
- ❌ Dans la méthode de Mayer, faire des groupes de tailles différentes sans raison. ✅ On coupe la série (rangée par \(x\) croissants) en deux moitiés.
Avec la droite \(y = x + 2\), quel nombre d'abonnés estime-t-on pour \(x = 4{,}5\) ? Pour quelle valeur de \(x\) estime-t-on \(9\) milliers d'abonnés ?
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\(4{,}5 + 2 = 6{,}5\) milliers d'abonnés. Et \(x + 2 = 9\) donne \(x = 7\).
Ajustement affine = droite \(y = ax + b\) proche du nuage ; Mayer : droite \((G_1G_2)\) ; moindres carrés : \(a\) et \(b\) lus sur l'outil ; ces droites passent par \(G\).
5 Interpoler et extrapoler
Une fois la droite choisie, on l'utilise pour estimer des valeurs qu'on n'a pas mesurées.
- interpoler, c'est estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données (par exemple une année entre deux mesures) ;
- extrapoler, c'est estimer une valeur en dehors de cette plage (par exemple une prévision pour l'avenir).
Une interpolation est en général fiable si le nuage est bien aligné. Une extrapolation suppose que la tendance continue : elle est d'autant plus risquée qu'on s'éloigne des données.
Étape 1 — Une interpolation. Pour \(x = 4{,}5\) (milieu de la cinquième année), \(y \approx 4{,}5 + 2 = 6{,}5\) milliers.
Étape 2 — Une extrapolation. Pour l'année \(8\) : \(y \approx 8 + 2 = \boxed{10 \text{ milliers}}\), si la croissance reste régulière.
🔍 Vérification : la droite des moindres carrés donne \(1{,}017 \times 8 + 1{,}94 \approx 10{,}08\) : les deux méthodes concordent ✓.
- ❌ Annoncer une extrapolation lointaine comme une certitude. ✅ On dit « si la tendance se maintient, on peut estimer… ».
- ❌ Croire qu'une bonne corrélation prouve une cause. ✅ Les ventes de glaces et les noyades augmentent ensemble en été : c'est la chaleur qui explique les deux.
Les ventes de glaces \(y\) sont bien ajustées par \(y = 10x - 30\) pour des températures \(x\) entre \(15\) et \(30\,°\)C. Estime les ventes à \(25\,°\)C, puis dis si l'estimation à \(45\,°\)C est fiable.
Voir la réponseMasquer la réponse
\(10 \times 25 - 30 = 220\) glaces (interpolation, fiable). À \(45\,°\)C, on extrapole loin des données : le modèle n'a pas été vérifié par de telles chaleurs, l'estimation est peu fiable.
Interpoler (dans la plage) est assez fiable ; extrapoler (hors de la plage) suppose que la tendance continue. Corrélation n'est pas causalité.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 8 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Parmi \(160\) filles, \(100\) sont demi-pensionnaires. Quelle est, en pourcentage, la part des demi-pensionnaires parmi les filles ?
Réponse attendue : \(62{,}5\) %
Le groupe est celui des filles : \(\dfrac{100}{160} = 0{,}625\), soit \(62{,}5\,\%\).
Dans « parmi les sportifs, \(57\,\%\) sont en seconde », quel est le dénominateur de la fréquence ?
Le mot « parmi » désigne le groupe de référence : ici les sportifs.
Vrai ou faux : si \(5\,\%\) des vaccinés et \(15\,\%\) des non-vaccinés tombent malades, alors la majorité des malades ne peut pas être vaccinée.
Si presque tout le monde est vacciné (par exemple \(900\) sur \(1\,000\)), il y a \(45\) malades vaccinés contre \(15\) non vaccinés : la majorité des malades est vaccinée.
Revoir dans le cours : 2. Comparer et représenter un croisement
Quel est le point moyen de la série \(x\) : \(2\) ; \(4\) ; \(6\) ; \(8\) et \(y\) : \(5\) ; \(9\) ; \(12\) ; \(18\) ?
\(\bar{x} = \dfrac{20}{4} = 5\) et \(\bar{y} = \dfrac{44}{4} = 11\).
Dans la méthode de Mayer, \(G_1(2 \,;\, 4)\) et \(G_2(5 \,;\, 7)\). Quelle est l'équation de la droite d'ajustement ?
\(a = \dfrac{7 - 4}{5 - 2} = 1\), puis \(4 = 2 + b\) donne \(b = 2\).
Vrai ou faux : la droite de Mayer passe par le point moyen du nuage.
C'est une propriété de la méthode de Mayer (et aussi de la droite des moindres carrés).
Une droite d'ajustement a pour équation \(y = 0{,}8x + 12\). Quelle valeur de \(y\) estime-t-on pour \(x = 15\) ?
Réponse attendue : \(24\)
\(0{,}8 \times 15 + 12 = 12 + 12 = 24\).
Les données vont de 2010 à 2020. Estimer la valeur de 2030 avec la droite d'ajustement, c'est :
2030 est en dehors de la plage des données : on extrapole, en supposant que la tendance continue.
À revoir dans le cours :
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Tableau croisé | effectifs pour chaque couple de modalités, avec les totaux |
| Fréquence marginale | \(\dfrac{\text{total de la modalité}}{\text{effectif total}}\) |
| Fréquence conditionnelle « parmi A » | \(\dfrac{\text{effectif de A et B}}{\text{effectif de A}}\) |
| Lien entre deux caractères | comparer des fréquences conditionnelles dans des groupes différents |
| Nuage de points | points \((x_i \,;\, y_i)\), non reliés |
| Point moyen | \(G(\bar{x} \,;\, \bar{y})\) |
| Méthode de Mayer | deux moitiés, points moyens \(G_1\), \(G_2\), droite \((G_1G_2)\) |
| Moindres carrés | \(a\) et \(b\) donnés par la calculatrice ou le tableur |
| Interpoler / extrapoler | dans la plage des données / en dehors (prudence) |
Pièges à éviter
- « Parmi » indique le groupe, donc le dénominateur.
- Un lien statistique ne prouve pas une cause.
- On vérifie que le nuage est à peu près aligné avant un ajustement affine.
- Une extrapolation lointaine est une hypothèse, pas une certitude.
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Dans un lycée de \(300\) élèves, on relève le sexe et le régime (demi-pensionnaire ou externe). On sait que : il y a \(140\) garçons ; \(90\) garçons sont demi-pensionnaires ; \(60\) filles sont externes. Recopie et complète le tableau.
| Demi-pensionnaire | Externe | Total | |
|---|---|---|---|
| Garçons | |||
| Filles | |||
| Total | \(300\) |
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on complète ligne par ligne et colonne par colonne avec les totaux.
Garçons externes : \(140 - 90 = 50\). Filles : \(300 - 140 = 160\). Filles demi-pensionnaires : \(160 - 60 = 100\).
| Demi-pensionnaire | Externe | Total | |
|---|---|---|---|
| Garçons | \(90\) | \(50\) | \(140\) |
| Filles | \(100\) | \(60\) | \(160\) |
| Total | \(190\) | \(110\) | \(300\) |
🔍 Vérification : \(190 + 110 = 300\) ✓ et \(140 + 160 = 300\) ✓
Avec le tableau de l'exercice 1, calcule (en pourcentage, arrondi au dixième) :
a) la part des demi-pensionnaires dans le lycée ;
b) la part des filles dans le lycée.
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fréquence marginale \(=\) total de la modalité \(\div\) effectif total.
a) \(\dfrac{190}{300} \approx \boxed{63{,}3\,\%}\)
b) \(\dfrac{160}{300} \approx \boxed{53{,}3\,\%}\)
🔍 Vérification : la part des externes est \(\dfrac{110}{300} \approx 36{,}7\,\%\), et \(63{,}3 + 36{,}7 = 100\) ✓
Avec le tableau de l'exercice 1, calcule :
a) parmi les filles, la part des demi-pensionnaires ;
b) parmi les demi-pensionnaires, la part des filles (arrondie au dixième de pourcentage).
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« parmi » donne le groupe, donc le dénominateur.
a) Parmi les \(160\) filles : \(\dfrac{100}{160} = \boxed{62{,}5\,\%}\).
b) Parmi les \(190\) demi-pensionnaires : \(\dfrac{100}{190} \approx \boxed{52{,}6\,\%}\).
🔍 Vérification : même numérateur \(100\), groupes différents ✓
Dans une enquête, on lit : « \(30\,\%\) des fumeurs ont une maladie respiratoire ».
a) Quel est le groupe de référence ?
b) Peut-on en déduire que \(30\,\%\) des personnes ayant une maladie respiratoire fument ? Explique.
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repérer le groupe de référence après « parmi » (ou ici « des fumeurs »).
a) Le groupe de référence est celui des fumeurs.
b) Non : c'est une autre fréquence conditionnelle, calculée parmi les malades. Elle dépend du nombre de fumeurs et de malades dans la population ; elle peut être très différente de \(30\,\%\).
🔍 Vérification : les deux fréquences ont le même numérateur (fumeurs malades) mais pas le même dénominateur ✓
Calcule le point moyen de la série :
| \(x\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(5\) | \(9\) | \(12\) | \(18\) |
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moyenne des \(x\), moyenne des \(y\).
\(\bar{x} = \dfrac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5\) et \(\bar{y} = \dfrac{5 + 9 + 12 + 18}{4} = \dfrac{44}{4} = 11\) : \(\boxed{G(5 \,;\, 11)}\).
🔍 Vérification : \(5\) est bien au milieu des \(x\) ✓
Avec le point moyen de l'exercice 5, vérifie lesquelles de ces droites passent par \(G\) :
a) \(y = 1{,}5x + 3{,}5\)
b) \(y = 2x + 1\)
c) \(y = 1{,}2x + 5\)
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on remplace \(x\) par \(5\) et on vérifie qu'on trouve \(y = 11\).
a) \(1{,}5 \times 5 + 3{,}5 = 11\) : oui.
b) \(2 \times 5 + 1 = 11\) : oui.
c) \(1{,}2 \times 5 + 5 = 11\) : oui.
Les trois droites passent par \(G\) : passer par \(G\) ne suffit pas pour être une bonne droite d'ajustement, il faut aussi la bonne pente.
🔍 Vérification : une infinité de droites passent par un même point ✓
Une droite d'ajustement a pour équation \(y = 0{,}8x + 12\).
a) Estime \(y\) pour \(x = 15\).
b) Estime \(x\) pour que \(y = 30\).
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remplacer \(x\) pour estimer \(y\) ; résoudre une équation pour estimer \(x\).
a) \(0{,}8 \times 15 + 12 = 12 + 12 = \boxed{24}\).
b) \(0{,}8x + 12 = 30 \iff 0{,}8x = 18 \iff x = \boxed{22{,}5}\).
🔍 Vérification : \(0{,}8 \times 22{,}5 = 18\) ✓
On dispose de données annuelles de 2010 à 2020. Dans chaque cas, s'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
a) estimer la valeur de 2015 ;
b) estimer la valeur de 2030 ;
c) estimer la valeur de 2005.
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dans la plage 2010-2020 → interpolation ; en dehors → extrapolation.
a) Interpolation
b) Extrapolation
c) Extrapolation (vers le passé)
🔍 Vérification : 2005 est avant 2010, donc hors de la plage ✓
Les valeurs de \(x\) sont dans les cellules A2 à A7, celles de \(y\) dans B2 à B7.
a) Quelle formule donne la moyenne des \(x\) ?
b) Quelle formule donne la moyenne des \(y\) ?
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la fonction MOYENNE du tableur.
a) =MOYENNE(A2:A7)
b) =MOYENNE(B2:B7)
🔍 Vérification : la plage contient bien les \(6\) valeurs de la ligne \(2\) à la ligne \(7\) ✓
Dans un diagramme circulaire, quel angle représente :
a) une part de \(25\,\%\) ?
b) \(60\) individus sur \(200\) ?
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l'angle est proportionnel à la part : \(360° \times\) fréquence.
a) \(360 \times 0{,}25 = \boxed{90°}\).
b) \(\dfrac{60}{200} = 0{,}3\) et \(360 \times 0{,}3 = \boxed{108°}\).
🔍 Vérification : a) un quart de cercle mesure bien \(90°\) ✓
Dans un groupe de \(100\) personnes, \(30\) préfèrent le train, \(20\) la voiture et \(50\) le vélo. Donne les fréquences de chaque modalité, sous forme de fraction irréductible et de pourcentage.
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fréquence \(=\) effectif \(\div\) total.
| Modalité | Train | Voiture | Vélo |
|---|---|---|---|
| Fréquence | \(\dfrac{3}{10} = 30\,\%\) | \(\dfrac{1}{5} = 20\,\%\) | \(\dfrac{1}{2} = 50\,\%\) |
🔍 Vérification : \(30 + 20 + 50 = 100\,\%\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
Sur \(1\,000\) personnes, \(600\) sont vaccinées, dont \(30\) tombent malades ; parmi les \(400\) non vaccinées, \(60\) tombent malades.
a) Construis le tableau croisé (vacciné ou non × malade ou non).
b) Calcule la fréquence de malades parmi les vaccinés et parmi les non-vaccinés.
c) Parmi les malades, quelle est la part des vaccinés ? Que peut-on conclure sur le vaccin ?
Voir la correction›
tableau croisé, puis fréquences conditionnelles dans chaque groupe.
a)
| Malade | Non malade | Total | |
|---|---|---|---|
| Vacciné | \(30\) | \(570\) | \(600\) |
| Non vacciné | \(60\) | \(340\) | \(400\) |
| Total | \(90\) | \(910\) | \(1\,000\) |
b) Parmi les vaccinés : \(\dfrac{30}{600} = \boxed{5\,\%}\) ; parmi les non-vaccinés : \(\dfrac{60}{400} = \boxed{15\,\%}\).
c) Parmi les malades : \(\dfrac{30}{90} \approx \boxed{33{,}3\,\%}\) sont vaccinés. Dans cet échantillon, les vaccinés sont trois fois moins souvent malades : la vaccination est associée à une protection.
🔍 Vérification : \(570 + 340 = 910\) ✓
Dans une autre ville, \(900\) personnes sur \(1\,000\) sont vaccinées. \(5\,\%\) des vaccinés tombent malades, contre \(15\,\%\) des non-vaccinés.
a) Combien y a-t-il de malades vaccinés ? de malades non vaccinés ?
b) Quelle est la part des vaccinés parmi les malades ?
c) Explique pourquoi cela ne contredit pas l'efficacité du vaccin.
Voir la correction›
calculer les effectifs, puis la fréquence parmi les malades.
a) Malades vaccinés : \(900 \times 0{,}05 = \boxed{45}\). Non vaccinés : \(100\) personnes, dont \(100 \times 0{,}15 = \boxed{15}\) malades.
b) \(\dfrac{45}{45 + 15} = \dfrac{45}{60} = \boxed{75\,\%}\).
c) Les vaccinés sont beaucoup plus nombreux (\(900\) contre \(100\)) : même avec un taux de maladie trois fois plus faible, ils forment la majorité des malades. Pour juger le vaccin, il faut comparer \(5\,\%\) et \(15\,\%\).
🔍 Vérification : \(45 + 15 = 60\) malades ✓
« la majorité des malades sont vaccinés » est normal quand presque tout le monde est vacciné.
On reprend les données des abonnés du cours : \(x\) de \(1\) à \(6\), \(y\) : \(3\) ; \(4\) ; \(5\) ; \(5{,}8\) ; \(7{,}1\) ; \(8{,}1\).
a) Calcule les points moyens \(G_1\) des trois premiers points et \(G_2\) des trois derniers.
b) Détermine l'équation de la droite \((G_1G_2)\).
Voir la correction›
point moyen de chaque moitié, puis équation de la droite.
a) \(G_1\left(\dfrac{1 + 2 + 3}{3} \,;\, \dfrac{3 + 4 + 5}{3}\right) = \boxed{G_1(2 \,;\, 4)}\) ; \(G_2\left(\dfrac{4 + 5 + 6}{3} \,;\, \dfrac{5{,}8 + 7{,}1 + 8{,}1}{3}\right) = \boxed{G_2(5 \,;\, 7)}\).
b) \(a = \dfrac{7 - 4}{5 - 2} = 1\) ; \(4 = 2 + b\) donne \(b = 2\) : \(\boxed{y = x + 2}\).
🔍 Vérification : avec \(G_2\), \(5 + 2 = 7\) ✓
Avec l'exercice 14, calcule le point moyen \(G\) du nuage et vérifie qu'il appartient à la droite de Mayer.
Voir la correction›
calculer \(G\), puis le remplacer dans l'équation.
\(\bar{x} = 3{,}5\) et \(\bar{y} = \dfrac{33}{6} = 5{,}5\), donc \(G(3{,}5 \,;\, 5{,}5)\). Et \(3{,}5 + 2 = 5{,}5\) : \(G\) est sur la droite de Mayer.
🔍 Vérification : c'est une propriété générale de la droite de Mayer ✓
Pour les mêmes données, la calculatrice donne la droite des moindres carrés \(y \approx 1{,}017x + 1{,}94\).
a) Estime \(y\) pour \(x = 8\) avec cette droite et avec la droite de Mayer.
b) Les deux estimations sont-elles proches ?
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remplacer \(x = 8\) dans chaque équation.
a) Moindres carrés : \(1{,}017 \times 8 + 1{,}94 \approx \boxed{10{,}08}\) milliers. Mayer : \(8 + 2 = \boxed{10}\) milliers.
b) Oui, l'écart est d'environ \(80\) abonnés : les deux droites sont presque confondues sur ces valeurs.
🔍 Vérification : les deux coefficients directeurs (\(1\) et \(1{,}017\)) sont très proches ✓
Avec la droite \(y = x + 2\), estime le nombre d'abonnés l'année \(10\). Donne deux raisons pour lesquelles cette prévision peut être fausse.
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extrapoler, puis critiquer.
Estimation : \(10 + 2 = \boxed{12 \text{ milliers d'abonnés}}\).
Raisons possibles : \(x = 10\) est loin des données (de \(1\) à \(6\)), c'est une extrapolation ; la croissance d'une chaîne peut ralentir, s'arrêter ou s'accélérer (mode, concurrence, nouvelle vidéo virale).
🔍 Vérification : \(10\) est bien en dehors de la plage \([1 \,;\, 6]\) ✓
Le tableau donne la population d'une ville (en milliers) selon le rang \(x\) de l'année.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(12{,}0\) | \(12{,}6\) | \(13{,}1\) | \(13{,}8\) | \(14{,}2\) | \(14{,}9\) |
a) Calcule le point moyen (arrondi au centième).
b) La calculatrice donne la droite des moindres carrés \(y \approx 0{,}571x + 12{,}00\). Vérifie qu'elle passe (presque) par \(G\).
c) Estime la population pour \(x = 8\).
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point moyen, vérification de la droite, estimation.
a) \(\bar{x} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5\) ; \(\bar{y} = \dfrac{12 + 12{,}6 + 13{,}1 + 13{,}8 + 14{,}2 + 14{,}9}{6} = \dfrac{80{,}6}{6} \approx 13{,}43\). \(\boxed{G(2{,}5 \,;\, 13{,}43)}\).
b) \(0{,}571 \times 2{,}5 + 12{,}00 \approx 13{,}43\) : la droite passe bien par \(G\) (aux arrondis près).
c) \(0{,}571 \times 8 + 12{,}00 \approx \boxed{16{,}6 \text{ milliers d'habitants}}\), si la tendance se maintient.
🔍 Vérification : la population augmente d'environ \(0{,}57\) millier par an, soit \(570\) habitants ✓
Une enquête auprès de \(500\) clients donne :
| Satisfait | Non satisfait | Total | |
|---|---|---|---|
| Moins de 30 ans | \(120\) | \(80\) | \(200\) |
| 30 ans et plus | \(240\) | \(60\) | \(300\) |
a) Calcule la part des clients satisfaits parmi les moins de 30 ans, puis parmi les 30 ans et plus.
b) Décris la représentation qui permet de comparer ces deux groupes.
c) Que peut-on conclure ?
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fréquences conditionnelles dans chaque groupe d'âge.
a) Moins de 30 ans : \(\dfrac{120}{200} = \boxed{60\,\%}\) ; 30 ans et plus : \(\dfrac{240}{300} = \boxed{80\,\%}\).
b) Un diagramme en barres avec une barre par groupe d'âge, de hauteur \(60\,\%\) et \(80\,\%\) (ou des barres empilées « satisfait / non satisfait » de même hauteur \(100\,\%\)).
c) Dans cette enquête, les clients de 30 ans et plus sont plus souvent satisfaits.
🔍 Vérification : \(120 + 240 = 360\) satisfaits sur \(500\), soit \(72\,\%\), entre \(60\,\%\) et \(80\,\%\) ✓
Le coût de production \(y\) (en euros) de \(x\) objets est bien ajusté par \(y = 2{,}5x + 40\).
a) Que représente le nombre \(2{,}5\) ? Et le nombre \(40\) ?
b) Estime le coût de \(100\) objets.
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\(a\) est l'augmentation de \(y\) quand \(x\) augmente de \(1\) ; \(b\) est la valeur de \(y\) pour \(x = 0\).
a) \(2{,}5\) € est le coût supplémentaire par objet ; \(40\) € est le coût fixe (même sans rien produire).
b) \(2{,}5 \times 100 + 40 = \boxed{290 \text{ €}}\).
🔍 Vérification : \(100\) objets coûtent \(250\) € de plus que le coût fixe ✓
Un glacier relève ses ventes selon la température :
| Température \(x\) (°C) | \(15\) | \(18\) | \(21\) | \(24\) | \(27\) | \(30\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes \(y\) | \(120\) | \(150\) | \(185\) | \(210\) | \(245\) | \(270\) |
a) Calcule le point moyen (arrondi au centième).
b) La calculatrice donne \(y \approx 10{,}10x - 30{,}5\). Estime les ventes à \(25\,°\)C.
c) Peut-on utiliser cette droite à \(40\,°\)C ? Explique.
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point moyen, estimation, critique.
a) \(\bar{x} = \dfrac{135}{6} = 22{,}5\) ; \(\bar{y} = \dfrac{1\,180}{6} \approx 196{,}67\). \(\boxed{G(22{,}5 \,;\, 196{,}67)}\).
b) \(10{,}10 \times 25 - 30{,}5 \approx \boxed{222 \text{ glaces}}\).
c) \(40\,°\)C est loin des données (\(15\) à \(30\,°\)C) : c'est une extrapolation risquée (par très forte chaleur, les gens restent peut-être chez eux). On ne peut pas s'y fier.
🔍 Vérification : \(10{,}10 \times 22{,}5 - 30{,}5 \approx 196{,}75\), proche de \(\bar{y}\) ✓
Avec les données de l'exercice 21 :
a) calcule \(G_1\) (trois premières valeurs) et \(G_2\) (trois dernières), arrondis au centième ;
b) détermine l'équation de la droite de Mayer.
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Mayer avec les deux moitiés.
a) \(G_1\left(18 \,;\, \dfrac{120 + 150 + 185}{3}\right) \approx \boxed{G_1(18 \,;\, 151{,}67)}\) ; \(G_2\left(27 \,;\, \dfrac{210 + 245 + 270}{3}\right) \approx \boxed{G_2(27 \,;\, 241{,}67)}\).
b) \(a = \dfrac{241{,}67 - 151{,}67}{27 - 18} = \dfrac{90}{9} = 10\). Puis \(151{,}67 = 10 \times 18 + b\), donc \(b \approx -28{,}33\) : \(\boxed{y \approx 10x - 28{,}33}\).
🔍 Vérification : en \(x = 22{,}5\), \(225 - 28{,}33 \approx 196{,}67 = \bar{y}\) ✓
Pour les données de l'exercice 21, on hésite entre \(d_1 : y = 10x - 30\) et \(d_2 : y = 9x - 10\).
a) Calcule, pour chaque droite, la somme des carrés des écarts \(\big(y_i - (\text{valeur donnée par la droite})\big)^2\).
b) Quelle droite est la plus proche des points ?
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calculer les valeurs données par chaque droite, les écarts, puis leurs carrés.
a)
| \(x\) | \(15\) | \(18\) | \(21\) | \(24\) | \(27\) | \(30\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(120\) | \(150\) | \(185\) | \(210\) | \(245\) | \(270\) |
| \(d_1\) | \(120\) | \(150\) | \(180\) | \(210\) | \(240\) | \(270\) |
| écart\(^2\) | \(0\) | \(0\) | \(25\) | \(0\) | \(25\) | \(0\) |
| \(d_2\) | \(125\) | \(152\) | \(179\) | \(206\) | \(233\) | \(260\) |
| écart\(^2\) | \(25\) | \(4\) | \(36\) | \(16\) | \(144\) | \(100\) |
Sommes : \(d_1\) : \(\boxed{50}\) ; \(d_2\) : \(\boxed{325}\).
b) \(d_1\) est la plus proche des points (somme beaucoup plus petite).
🔍 Vérification : c'est l'idée de la méthode des moindres carrés : choisir la droite qui rend cette somme la plus petite ✓
Sur plusieurs étés, on observe que les ventes de glaces et le nombre de noyades augmentent en même temps.
a) Peut-on dire que manger des glaces provoque des noyades ?
b) Propose une explication.
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chercher un troisième facteur qui influence les deux.
a) Non : les deux phénomènes sont liés statistiquement, mais rien ne prouve que l'un cause l'autre.
b) La chaleur : quand il fait chaud, on mange plus de glaces et on se baigne plus, donc il y a plus de noyades.
🔍 Vérification : en hiver, peu de glaces et peu de baignades : cohérent ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Un restaurant a servi \(400\) clients. \(35\,\%\) ont pris le menu ; parmi eux, \(60\,\%\) ont pris un dessert. Parmi les clients sans menu, \(20\,\%\) ont pris un dessert.
a) Construis le tableau croisé (menu ou non × dessert ou non).
b) Parmi les clients qui ont pris un dessert, quelle est la part de ceux qui avaient le menu (arrondie au dixième de pourcentage) ?
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traduire les pourcentages en effectifs, groupe par groupe.
a) Menu : \(400 \times 0{,}35 = 140\), dont \(140 \times 0{,}6 = 84\) avec dessert. Sans menu : \(260\), dont \(260 \times 0{,}2 = 52\) avec dessert.
| Dessert | Pas de dessert | Total | |
|---|---|---|---|
| Menu | \(84\) | \(56\) | \(140\) |
| Sans menu | \(52\) | \(208\) | \(260\) |
| Total | \(136\) | \(264\) | \(400\) |
b) \(\dfrac{84}{136} \approx \boxed{61{,}8\,\%}\).
🔍 Vérification : \(136 + 264 = 400\) ✓
Des données simplifiées donnent l'élévation du niveau moyen des océans (en mm) depuis 1993, selon le nombre \(x\) d'années écoulées.
| \(x\) | \(0\) | \(5\) | \(10\) | \(15\) | \(20\) | \(25\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) (mm) | \(0\) | \(17\) | \(33\) | \(50\) | \(66\) | \(83\) |
a) Calcule le point moyen.
b) Détermine la droite de Mayer (coefficients arrondis au centième).
c) Interprète le coefficient directeur.
d) Estime l'élévation en 2030 (\(x = 37\)). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
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point moyen, Mayer, interprétation, estimation.
a) \(\bar{x} = \dfrac{75}{6} = 12{,}5\) ; \(\bar{y} = \dfrac{249}{6} = 41{,}5\). \(\boxed{G(12{,}5 \,;\, 41{,}5)}\).
b) \(G_1\left(5 \,;\, \dfrac{50}{3}\right) \approx (5 \,;\, 16{,}67)\) et \(G_2\left(20 \,;\, \dfrac{199}{3}\right) \approx (20 \,;\, 66{,}33)\). \(a = \dfrac{66{,}33 - 16{,}67}{15} \approx 3{,}31\) et \(b \approx 16{,}67 - 3{,}31 \times 5 \approx 0{,}11\) : \(\boxed{y \approx 3{,}31x + 0{,}11}\).
c) Le niveau moyen des océans monte d'environ \(3{,}3\) mm par an.
d) \(3{,}31 \times 37 + 0{,}11 \approx \boxed{122{,}6 \text{ mm}}\), soit environ \(12\) cm de plus qu'en 1993. C'est une extrapolation (\(37 > 25\)) : elle suppose que la vitesse reste la même, alors que les scientifiques observent plutôt une accélération.
🔍 Vérification : \(3{,}31 \times 12{,}5 + 0{,}11 \approx 41{,}5 = \bar{y}\) ✓
Pour les données des abonnés, on a obtenu : au jugé \(y = 1{,}1x + 1{,}6\) ; Mayer \(y = x + 2\) ; moindres carrés \(y \approx 1{,}017x + 1{,}94\).
a) Vérifie lesquelles passent par le point moyen \(G(3{,}5 \,;\, 5{,}5)\).
b) Calcule l'estimation de chaque droite pour \(x = 7\). Que constates-tu ?
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remplacer \(x = 3{,}5\), puis \(x = 7\).
a) Au jugé : \(1{,}1 \times 3{,}5 + 1{,}6 = 5{,}45\) (pas tout à fait \(G\)) ; Mayer : \(5{,}5\) ✓ ; moindres carrés : \(1{,}017 \times 3{,}5 + 1{,}94 \approx 5{,}5\) ✓.
b) Au jugé : \(1{,}1 \times 7 + 1{,}6 = 9{,}3\) ; Mayer : \(9\) ; moindres carrés : \(\approx 9{,}06\). Les estimations sont proches mais différentes : le choix de la méthode influence la prévision, surtout loin des données.
🔍 Vérification : l'écart entre les droites grandit quand \(x\) s'éloigne du point moyen ✓
Dans un tableur, les \(x\) sont en A2:A7 et les \(y\) en B2:B7. On écrit =PENTE(B2:B7;A2:A7) dans D1 et =ORDONNEE.ORIGINE(B2:B7;A2:A7) dans D2.
a) Que contiennent D1 et D2 ?
b) Quelle formule écrire en D3 pour estimer \(y\) quand \(x = 10\) ?
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PENTE donne \(a\), ORDONNEE.ORIGINE donne \(b\) (droite des moindres carrés).
a) D1 contient le coefficient directeur \(a\) et D2 l'ordonnée à l'origine \(b\) de la droite des moindres carrés.
b) =D1*10+D2.
🔍 Vérification : c'est \(y = a \times 10 + b\) ✓
Deux lycées présentent des élèves à un concours. Lycée A : \(19\) filles sur \(20\) réussissent, et \(30\) garçons sur \(80\). Lycée B : \(72\) filles sur \(80\) réussissent, et \(7\) garçons sur \(20\).
a) Compare les taux de réussite des filles dans les deux lycées, puis ceux des garçons.
b) Calcule le taux de réussite global de chaque lycée.
c) Explique ce résultat surprenant.
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comparer les taux par groupe, puis les taux globaux, et regarder la composition des groupes.
a) Filles : A \(\dfrac{19}{20} = 95\,\%\), B \(\dfrac{72}{80} = 90\,\%\). Garçons : A \(\dfrac{30}{80} = 37{,}5\,\%\), B \(\dfrac{7}{20} = 35\,\%\). Le lycée A fait mieux dans les deux groupes.
b) A : \(\dfrac{19 + 30}{100} = \boxed{49\,\%}\) ; B : \(\dfrac{72 + 7}{100} = \boxed{79\,\%}\). Globalement, B fait beaucoup mieux !
c) Les filles réussissent bien mieux que les garçons dans les deux lycées. Or A présente surtout des garçons (\(80\) sur \(100\)) et B surtout des filles (\(80\) sur \(100\)). La composition des groupes renverse la comparaison globale : c'est le paradoxe de Simpson.
🔍 Vérification : \(49 + 79\) élèves reçus sur \(200\), chaque lycée en présentant \(100\) ✓
On relève : \(x\) : \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(5\) ; \(6\) et \(y\) : \(10\) ; \(12\) ; \(14\) ; \(30\) ; \(18\) ; \(20\). La valeur \(30\) est due à une erreur de saisie (il fallait \(16\)).
a) Calcule la droite de Mayer avec la valeur \(30\) (coefficients arrondis au centième).
b) Calcule la droite de Mayer avec la valeur corrigée \(16\).
c) Quelle conséquence une seule erreur a-t-elle sur l'ajustement ?
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refaire la méthode de Mayer deux fois et comparer.
a) \(G_1(2 \,;\, 12)\) ; \(G_2\left(5 \,;\, \dfrac{30 + 18 + 20}{3}\right) \approx (5 \,;\, 22{,}67)\). \(a \approx \dfrac{22{,}67 - 12}{3} \approx 3{,}56\) et \(b \approx 12 - 3{,}56 \times 2 \approx 4{,}89\) : \(\boxed{y \approx 3{,}56x + 4{,}89}\).
b) \(G_2\left(5 \,;\, \dfrac{16 + 18 + 20}{3}\right) = (5 \,;\, 18)\). \(a = \dfrac{18 - 12}{3} = 2\) et \(b = 12 - 4 = 8\) : \(\boxed{y = 2x + 8}\) (les points corrigés sont exactement alignés).
c) Une seule valeur aberrante fait passer la pente de \(2\) à environ \(3{,}56\) : les prévisions seraient très faussées. Avant d'ajuster, on vérifie les données.
🔍 Vérification : avec \(16\), chaque point vérifie \(y = 2x + 8\) : \(2 + 8 = 10\), \(4 + 8 = 12\)… ✓
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