Tle expertes · Chapitre 5 · Arithmétique

Divisibilité et congruences

30 exercices corrigés

À quoi ça sert ?

Quel jour de la semaine serons-nous dans $100$ jours ? Pourquoi le dernier chiffre d'un code-barres permet-il de détecter une erreur de saisie ? Comment trouver le dernier chiffre de $7^{2026}$ sans calculer ce nombre gigantesque ? Toutes ces questions reposent sur le calcul avec les restes : c'est l'arithmétique modulaire, qui sert aussi à chiffrer les données sur internet. Avec ce chapitre, tu sauras :

utiliser la divisibilité et la division euclidienne dans $\mathbb{Z}$ ;
calculer avec des congruences, comme on calcule avec des égalités ;
trouver le reste d'une grande puissance et établir des critères de divisibilité ;
comprendre une clé de contrôle et un chiffrement simple.

1 Divisibilité dans ℤ

On travaille maintenant avec tous les entiers relatifs, positifs ou négatifs.

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $b$ divise $a$ (ou que $a$ est un multiple de $b$), et on note $b \mid a$, s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$. En mots : $a$ est dans la « table de $b$ », en comptant aussi les multiples négatifs.

Propriétés

Pour tous entiers $a$, $b$, $c$ :

si $a \mid b$ et $b \mid c$, alors $a \mid c$ (transitivité) ;
si $a \mid b$ et $a \mid c$, alors $a \mid bu + cv$ pour tous entiers $u$ et $v$ (combinaison linéaire).

Pourquoi c'est vrai ?

L'idée en une phrase : on écrit les multiples et on factorise.

Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration

Étape 1 — Transitivité. $b = ka$ et $c = k'b$, donc $c = k'ka = (k'k)a$, avec $k'k$ entier ✓.

Étape 2 — Combinaison linéaire. $b = ka$ et $c = k'a$, donc $bu + cv = kau + k'av = (ku + k'v)a$, avec $ku + k'v$ entier ✓.

Exemple guidé — utiliser une combinaison linéaire

Trouver les entiers $n \ne 1$ tels que $n - 1$ divise $n + 5$.

Étape 1 — Faire apparaître une constante. $n + 5 = (n - 1) + 6$. Comme $n - 1$ divise $n - 1$, s'il divise $n + 5$, il divise la différence $6$ (combinaison linéaire). Réciproquement, s'il divise $6$, il divise la somme $(n - 1) + 6$.

Étape 2 — Les diviseurs de $6$. $n - 1 \in \{-6 \,;\, -3 \,;\, -2 \,;\, -1 \,;\, 1 \,;\, 2 \,;\, 3 \,;\, 6\}$.

Étape 3 — Conclure. $n \in \{-5 \,;\, -2 \,;\, -1 \,;\, 0 \,;\, 2 \,;\, 3 \,;\, 4 \,;\, 7\}$.

🔍 Vérification : $n = 7$ : $n - 1 = 6$ divise $n + 5 = 12$ ✓.

Erreurs fréquentes

❌ Oublier les diviseurs négatifs. ✅ Dans $\mathbb{Z}$, $-2$ divise $6$ aussi.
❌ Confondre « $b$ divise $a$ » ($b \mid a$) et la fraction $\dfrac{b}{a}$. ✅ $b \mid a$ est une affirmation (vraie ou fausse), pas un nombre.

À toi !

Donne les diviseurs positifs de $24$, puis montre que si $a$ divise $5$ et $7$… quel nombre divise-t-il forcément ?

Voir la réponseMasquer la réponse

$1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$. Si $a \mid 5$ et $a \mid 7$, alors $a \mid 3 \times 5 - 2 \times 7 = 1$ : $a = \pm 1$.

À retenir

$b \mid a \iff a = kb$ ; si $a$ divise $b$ et $c$, il divise toute combinaison $bu + cv$.

2 Division euclidienne

Diviser $47$ par $6$, c'est trouver un quotient et un reste. On étend cette idée aux entiers négatifs.

Théorème

(admis) : soient $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$. Il existe un unique couple d'entiers $(q \,;\, r)$ tel que $a = bq + r \qquad \text{et} \qquad 0 \leqslant r < b.$ $q$ est le quotient, $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. En mots : le reste est toujours positif et strictement plus petit que le diviseur.

Exemple guidé — deux divisions

Étape 1 — $47$ par $6$. $47 = 6 \times 7 + 5$, avec $0 \leqslant 5 < 6$ : $q = 7$, $r = 5$.

Étape 2 — $-47$ par $6$. $-47 = 6 \times (-8) + 1$, avec $0 \leqslant 1 < 6$ : $q = -8$, $r = 1$.

🔍 Vérification : $6 \times (-8) + 1 = -48 + 1 = -47$ ✓.

Erreurs fréquentes

❌ $-47 = 6 \times (-7) - 5$, « reste $-5$ ». ✅ Le reste doit être positif : on descend d'un cran, $q = -8$, $r = 1$.

À toi !

Effectue la division euclidienne de $200$ par $9$, puis de $-20$ par $7$.

Voir la réponseMasquer la réponse

$200 = 9 \times 22 + 2$ ; $-20 = 7 \times (-3) + 1$.

À retenir

$a = bq + r$ avec $0 \leqslant r < b$ ; pour $a < 0$, le quotient est négatif et le reste reste positif.

3 Congruences

Deux entiers qui ont le même reste dans la division par $n$ « se comportent pareil » pour cette division : on dit qu'ils sont congrus.

L'intuition

Sur une horloge, $15$ h et $3$ h sont au même endroit. On compte « modulo $12$ » : $15 \equiv 3 \pmod{12}$.

Définition

Soit $n \geqslant 2$ un entier. Deux entiers $a$ et $b$ sont congrus modulo $n$, et on note $a \equiv b \ [n]$, si $n$ divise $a - b$. Propriété équivalente : $a \equiv b \ [n]$ si, et seulement si, $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par $n$. En particulier, tout entier est congru modulo $n$ à son reste, un entier entre $0$ et $n - 1$.

Pourquoi c'est vrai ?

L'idée en une phrase : on compare les deux divisions euclidiennes.

Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration

Étape 1 — Même reste ⇒ congrus. Si $a = nq + r$ et $b = nq' + r$, alors $a - b = n(q - q')$ est un multiple de $n$.

Étape 2 — Congrus ⇒ même reste. Si $a = nq + r$ et $b = nq' + r'$ avec $0 \leqslant r, r' < n$, alors $r - r' = (a - b) - n(q - q')$ est un multiple de $n$. Or $-n < r - r' < n$ : le seul multiple de $n$ dans cet intervalle est $0$, donc $r = r'$ ✓.

Exemple guidé — des congruences

Étape 1 — Restes. $37 = 5 \times 7 + 2$, donc $37 \equiv 2 \ [5]$ ; $-8 = 3 \times (-3) + 1$, donc $-8 \equiv 1 \ [3]$.

Étape 2 — Tester. $85 \equiv 13 \ [12]$ ? $85 - 13 = 72 = 12 \times 6$ : oui.

🔍 Vérification : $85$ et $13$ ont le même reste $1$ dans la division par $12$ ✓.

Erreurs fréquentes

❌ Croire que $a \equiv b \ [n]$ impose $a = b$. ✅ Seule la différence doit être un multiple de $n$.

À toi !

Vrai ou faux : $50 \equiv 10 \ [9]$ ?

Voir la réponseMasquer la réponse

$50 - 10 = 40$, qui n'est pas un multiple de $9$ : faux. (En fait $50 \equiv 5$ et $10 \equiv 1$ modulo $9$.)

À retenir

$a \equiv b \ [n] \iff n \mid a - b \iff$ même reste modulo $n$.

4 Compatibilité avec les opérations

On peut additionner, multiplier et élever à une puissance des congruences, exactement comme des égalités. C'est ce qui les rend si efficaces.

Propriétés

Si $a \equiv b \ [n]$ et $c \equiv d \ [n]$, alors $a + c \equiv b + d \ [n], \qquad ac \equiv bd \ [n], \qquad a^k \equiv b^k \ [n] \ \text{(pour tout } k \in \mathbb{N}\text{)}.$ En mots : dans un calcul modulo $n$, on peut remplacer chaque nombre par n'importe quel nombre qui lui est congru, par exemple son reste.

Pourquoi c'est vrai ?

L'idée en une phrase : on écrit $a = b + kn$ et $c = d + k'n$, et on développe.

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Étape 1 — Somme. $a + c = b + d + (k + k')n$ : la différence $(a + c) - (b + d)$ est un multiple de $n$ ✓.

Étape 2 — Produit. $ac = (b + kn)(d + k'n) = bd + n(bk' + dk + kk'n)$ : $ac - bd$ est un multiple de $n$ ✓.

Étape 3 — Puissance. On applique $k$ fois la règle du produit (récurrence) ✓.

Exemple guidé — le reste de $2^{2026}$ modulo $7$

Étape 1 — Chercher une puissance simple. $2^3 = 8 \equiv 1 \ [7]$.

Étape 2 — Découper l'exposant. $2026 = 3 \times 675 + 1$, donc $2^{2026} = \left(2^3\right)^{675} \times 2$.

Étape 3 — Conclure. $2^{2026} \equiv 1^{675} \times 2 = 2 \ [7]$ : le reste est $\boxed{2}$.

🔍 Vérification : les restes de $2^k$ modulo $7$ forment le cycle $1, 2, 4, 1, 2, 4\ldots$ de longueur $3$, et $2026 \equiv 1 \ [3]$ donne la place du $2$ ✓.

Erreurs fréquentes

❌ Simplifier une congruence par division : « $2x \equiv 4 \ [6]$, donc $x \equiv 2 \ [6]$ ». ✅ C'est faux en général ($x = 5$ convient aussi). La division n'est pas compatible ; on verra au chapitre suivant quand on peut « inverser ».
❌ Réduire l'exposant modulo $n$ : $2^{10} \equiv 2^{10 - 7} \ [7]$. ✅ On réduit la base, et on utilise un cycle pour l'exposant.

À toi !

Quel est le reste de $3^{100}$ dans la division par $5$ ?

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$3^4 = 81 \equiv 1 \ [5]$ et $100 = 4 \times 25$, donc $3^{100} = \left(3^4\right)^{25} \equiv 1 \ [5]$ : le reste est $1$.

À retenir

On peut ajouter, multiplier, élever à une puissance des congruences ; on ne divise pas. Pour une grande puissance, on cherche $a^k \equiv 1$ (ou un cycle).

5 Applications : critères de divisibilité et clés de contrôle

Les congruences expliquent les « règles » apprises au collège, et beaucoup de systèmes de vérification.

Critère de divisibilité par $9$

Un entier est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres. Il est donc divisible par $9$ si, et seulement si, la somme de ses chiffres l'est.

Pourquoi c'est vrai ?

L'idée en une phrase : $10 \equiv 1 \ [9]$, donc toutes les puissances de $10$ sont congrues à $1$.

Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration

Étape 1 — Écrire en base dix. $N = a_k10^k + \cdots + a_110 + a_0$, où les $a_i$ sont les chiffres.

Étape 2 — Réduire. $10 \equiv 1 \ [9]$, donc $10^i \equiv 1 \ [9]$ pour tout $i$, et $N \equiv a_k + \cdots + a_1 + a_0 \ [9]$ ✓.

Exemple guidé — un jour de la semaine

Le 13 novembre 2026 est un vendredi. Quel jour serons-nous $100$ jours plus tard ?

Étape 1 — Réduire modulo $7$. $100 = 7 \times 14 + 2$, donc $100 \equiv 2 \ [7]$.

Étape 2 — Avancer. Avancer de $100$ jours revient à avancer de $2$ jours dans la semaine : vendredi $+ 2$ = $\boxed{\text{dimanche}}$.

🔍 Vérification : $98$ jours font exactement $14$ semaines (encore un vendredi), puis samedi, dimanche ✓.

Les clés de contrôle

Le dernier chiffre d'un code-barres EAN-13 (ou d'un ISBN-13) est choisi pour que la somme des chiffres, pondérés alternativement par $1$ et par $3$, soit divisible par $10$. Une erreur sur un seul chiffre change cette somme, et le lecteur détecte l'erreur (voir les exercices 19 et 20).

Erreurs fréquentes

❌ Utiliser la somme des chiffres pour la divisibilité par $11$. ✅ Pour $11$, on utilise la somme alternée des chiffres (car $10 \equiv -1 \ [11]$).

À toi !

Quel est le reste de $2026^2$ dans la division par $5$ ?

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$2026 \equiv 1 \ [5]$, donc $2026^2 \equiv 1^2 = 1 \ [5]$.

À retenir

$10 \equiv 1 \ [9]$ → somme des chiffres ; $10 \equiv -1 \ [11]$ → somme alternée ; jours de la semaine : modulo $7$.

Les maths cachées · La clé du numéro de sécurité socialeÀ quoi servent les deux derniers chiffres de la carte Vitale ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴

Le numéro de sécurité sociale compte $13$ chiffres : le sexe, l'année et le mois de naissance, le lieu de naissance et un numéro d'ordre. Il est suivi d'une clé de $2$ chiffres. Cette clé ne dit rien sur toi : elle sert à repérer les erreurs de saisie.

Le calcul de la clé. On lit les $13$ chiffres comme un seul nombre $N$, puis on calcule le reste $r$ de la division euclidienne de $N$ par $97$ :

$\text{clé} = 97 - r$

Ainsi, $N + \text{clé}$ est toujours un multiple de $97$ : $N + \text{clé} \equiv 0 \ [97]$. Un logiciel vérifie cette congruence à chaque saisie.

Un exemple inventé. Prenons $N = 1\,234\,567\,890\,123$ (il ne peut appartenir à personne : le « mois » $45$ n'existe pas). La division par $97$ donne le reste $r = 86$, donc la clé vaut $97 - 86 = 11$.

Un chiffre mal tapé est toujours repéré. Si un chiffre est faux, $N$ change de $k \times 10^p$, avec $k$ entre $-9$ et $9$, non nul. Or $97$ est premier et ne divise ni $k$ ni $10^p$ : il ne divise pas leur produit. $N + \text{clé}$ n'est plus un multiple de $97$, et la saisie est refusée.

Deux chiffres voisins échangés aussi. Échanger deux chiffres voisins $a$ et $b$ change $N$ de $9(a - b) \times 10^p$ (ou de son opposé) : là encore, $97$ ne divise aucun des facteurs. Dans l'exemple, échanger le $9$ et le $0$ ajoute $900$ à $N$, et $900 \equiv 27 \ [97]$ : l'erreur est repérée.

Le même principe

Protège les numéros de compte bancaire (IBAN), eux aussi vérifiés modulo $97$.

Attention

Pour les personnes nées en Corse, les départements $2A$ et $2B$ sont remplacés par $19$ et $18$ dans le calcul de la clé.

Voir toutes les maths cachées →

Quiz du cours

Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.

Et maintenant ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	À savoir
Divisibilité	$b \mid a \iff a = kb$, $k \in \mathbb{Z}$
Combinaison	$a \mid b$ et $a \mid c$ $\Rightarrow$ $a \mid bu + cv$
Division euclidienne	$a = bq + r$, $0 \leqslant r < b$ (unique)
Congruence	$a \equiv b \ [n] \iff n \mid a - b \iff$ même reste
Compatibilité	somme, produit, puissance (pas de division)
Grandes puissances	chercher $a^k \equiv 1 \ [n]$ ou un cycle de restes
Critère par 9	$N \equiv$ somme des chiffres $[9]$
Critère par 11	$N \equiv$ somme alternée des chiffres $[11]$ (en partant des unités)
Calendrier	$1$ an $= 365 \equiv 1 \ [7]$ jours ($366 \equiv 2$ si bissextile)

Pièges à éviter

Le reste est toujours positif, même pour un dividende négatif.
Ne jamais diviser une congruence.
Ne pas réduire l'exposant modulo $n$.
Penser aux diviseurs négatifs.

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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—DiviseursNiveau 1

Donne les diviseurs positifs de $36$, puis ceux de $60$.

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Méthode

tester les diviseurs jusqu'à la racine carrée et les associer par paires.

$36$ : $\boxed{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}$ (paires $1 \times 36$, $2 \times 18$, $3 \times 12$, $4 \times 9$, $6 \times 6$).

$60$ : $\boxed{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}$.

🔍 Vérification : $36$ a $9$ diviseurs (nombre impair, car c'est un carré) ✓

Exercice 2—Divisions euclidiennesNiveau 1

Effectue la division euclidienne de :
a) $157$ par $12$
b) $-37$ par $5$
c) $1\,000$ par $7$

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Méthode

$a = bq + r$ avec $0 \leqslant r < b$.

a) $157 = 12 \times 13 + 1$ : $\boxed{q = 13,\ r = 1}$
b) $-37 = 5 \times (-8) + 3$ : $\boxed{q = -8,\ r = 3}$
c) $1\,000 = 7 \times 142 + 6$ : $\boxed{q = 142,\ r = 6}$

🔍 Vérification : b) $-40 + 3 = -37$ ✓

Exercice 3—Combinaison linéaireNiveau 1

Un entier $d$ divise $a$ et $b$. Montre que $d$ divise $3a - 2b$. Application : quels entiers positifs divisent à la fois $n$ et $n + 4$, quel que soit $n$ ?

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Méthode

combinaison linéaire.

$a = kd$ et $b = k'd$, donc $3a - 2b = (3k - 2k')d$ : $d \mid 3a - 2b$.

Application : un diviseur commun de $n$ et $n + 4$ divise $(n + 4) - n = 4$. Les seuls entiers positifs qui divisent $n$ et $n + 4$ pour tout $n$ sont donc parmi $1$, $2$, $4$ ; or, pour $n = 1$, seul $1$ convient. Réponse : $\boxed{1}$.

🔍 Vérification : pour $n = 4$, $n$ et $n + 4 = 8$ ont pour diviseurs communs $1$, $2$, $4$ ; pour $n = 1$, seulement $1$ ✓

Exercice 4—Réduire modulo nNiveau 1

Trouve l'entier $r$ entre $0$ et $n - 1$ tel que :
a) $37 \equiv r \ [5]$
b) $-8 \equiv r \ [3]$
c) $100 \equiv r \ [7]$

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Méthode

le reste de la division euclidienne.

a) $37 = 5 \times 7 + 2$ : $\boxed{2}$
b) $-8 = 3 \times (-3) + 1$ : $\boxed{1}$
c) $100 = 7 \times 14 + 2$ : $\boxed{2}$

🔍 Vérification : b) $-8 - 1 = -9$ est un multiple de $3$ ✓

Exercice 5—Vrai ou fauxNiveau 1

a) $23 \equiv 2 \ [7]$
b) $15 \equiv -1 \ [8]$
c) $50 \equiv 10 \ [9]$

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Méthode

$n$ divise-t-il la différence ?

a) $23 - 2 = 21 = 3 \times 7$ : vrai.
b) $15 - (-1) = 16 = 2 \times 8$ : vrai.
c) $50 - 10 = 40$, pas un multiple de $9$ : faux.

🔍 Vérification : c) $50 \equiv 5$ et $10 \equiv 1$ modulo $9$ ✓

Exercice 6—Calculer modulo 5Niveau 1

On sait que $17 \equiv 2 \ [5]$. Sans calculer $17^2$, donne le reste de $17^2$ et celui de $3 \times 17 + 1$ modulo $5$.

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Méthode

remplacer $17$ par $2$.

$17^2 \equiv 2^2 = \boxed{4} \ [5]$ ; $3 \times 17 + 1 \equiv 3 \times 2 + 1 = 7 \equiv \boxed{2} \ [5]$.

🔍 Vérification : $17^2 = 289 = 5 \times 57 + 4$ ✓ et $52 = 5 \times 10 + 2$ ✓

Exercice 7—Une puissance de 2Niveau 1

Utilise $2^3 \equiv 1 \ [7]$ pour trouver le reste de $2^{10}$ modulo $7$. Vérifie avec $2^{10} = 1\,024$.

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Méthode

découper l'exposant avec $2^3 \equiv 1$.

$2^{10} = \left(2^3\right)^3 \times 2 \equiv 1 \times 2 = \boxed{2} \ [7]$.

🔍 Vérification : $1\,024 = 7 \times 146 + 2$ ✓

Exercice 8—Le jour de la semaineNiveau 1

Le 13 novembre 2026 est un vendredi. Quel jour de la semaine serons-nous $100$ jours plus tard ?

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Méthode

réduire $100$ modulo $7$.

$100 \equiv 2 \ [7]$ : vendredi $+ 2$ jours $=$ $\boxed{\text{dimanche}}$ (le 21 février 2027).

🔍 Vérification : $14$ semaines $= 98$ jours, puis $2$ jours de plus ✓

Exercice 9—Divisible par 9 ?Niveau 1

Les nombres $7\,254$ et $81\,972$ sont-ils divisibles par $9$ ?

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Méthode

somme des chiffres.

$7 + 2 + 5 + 4 = 18$ : divisible par $9$, donc $7\,254$ aussi. $8 + 1 + 9 + 7 + 2 = 27$ : divisible par $9$, donc $81\,972$ aussi.

🔍 Vérification : $7\,254 = 9 \times 806$ ✓

Exercice 10—Les carrés modulo 4Niveau 1

Montre que le carré d'un entier est congru à $0$ ou à $1$ modulo $4$.

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Méthode

tableau des restes modulo $4$.

$n \equiv$	$0$	$1$	$2$	$3$
$n^2 \equiv$	$0$	$1$	$4 \equiv 0$	$9 \equiv 1$

Donc $n^2 \equiv 0$ ou $1 \ [4]$ ✓.

🔍 Vérification : $7^2 = 49 = 4 \times 12 + 1$ ✓

Exercice 11—Le dernier chiffreNiveau 1

Quel est le dernier chiffre de $7^{2026}$ ? (On cherchera les restes de $7^k$ modulo $10$.)

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Méthode

le dernier chiffre est le reste modulo $10$ ; on cherche un cycle.

$7^1 \equiv 7$, $7^2 \equiv 9$, $7^3 \equiv 3$, $7^4 \equiv 1 \ [10]$. Cycle de longueur $4$ ; $2026 = 4 \times 506 + 2$, donc $7^{2026} \equiv 7^2 \equiv 9 \ [10]$. Dernier chiffre : $\boxed{9}$.

🔍 Vérification : $7^4 = 2\,401$ se termine bien par $1$ ✓

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Trois entiers consécutifsNiveau 2

Montre, à l'aide d'un tableau de congruences modulo $3$, que $n(n + 1)(n + 2)$ est divisible par $3$ pour tout entier $n$.

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Méthode

étudier les trois restes possibles de $n$ modulo $3$.

$n \equiv$	$0$	$1$	$2$
$n(n + 1)(n + 2) \equiv$	$0 \times 1 \times 2 = 0$	$1 \times 2 \times 3 \equiv 0$	$2 \times 3 \times 4 \equiv 0$

Dans tous les cas, le produit est divisible par $3$ ✓.

🔍 Vérification : $4 \times 5 \times 6 = 120 = 3 \times 40$ ✓

Exercice 13—Jamais divisible par 5Niveau 2

Montre que $n^2 + n + 1$ n'est jamais divisible par $5$.

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Méthode

tableau modulo $5$.

$n \equiv$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$n^2 + n + 1 \equiv$	$1$	$3$	$7 \equiv 2$	$13 \equiv 3$	$21 \equiv 1$

Le reste n'est jamais $0$ : $n^2 + n + 1$ n'est jamais divisible par $5$ ✓.

🔍 Vérification : $n = 7$ : $57$, non divisible par $5$ ✓

Exercice 14—Divisibilité par 11Niveau 2

a) Justifie que $10 \equiv -1 \ [11]$ et déduis-en que $10^k \equiv (-1)^k \ [11]$.
b) Énonce un critère de divisibilité par $11$ et applique-le à $918\,082$.

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Méthode

$10 \equiv -1$, puis puissances.

a) $10 - (-1) = 11$ : $10 \equiv -1 \ [11]$, donc $10^k \equiv (-1)^k \ [11]$ (compatibilité avec les puissances).

b) Un entier est divisible par $11$ si, et seulement si, la somme alternée de ses chiffres (unités $-$ dizaines $+$ centaines $-\ldots$) l'est. Pour $918\,082$ : $2 - 8 + 0 - 8 + 1 - 9 = -22$, multiple de $11$ : $918\,082$ est divisible par $11$.

🔍 Vérification : $918\,082 = 11 \times 83\,462$ ✓

Exercice 15—Une famille divisible par 24Niveau 2

Montre que $5^{2n} - 1$ est divisible par $24$ pour tout entier naturel $n$.

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Méthode

$5^{2n} = 25^n$ et $25 \equiv 1 \ [24]$.

$5^{2n} - 1 = 25^n - 1 \equiv 1^n - 1 = 0 \ [24]$ : divisible par $24$ ✓.

🔍 Vérification : $n = 2$ : $624 = 24 \times 26$ ✓

Exercice 16—Le reste de 3¹⁰⁰ modulo 7Niveau 2

a) Calcule les restes de $3^k$ modulo $7$ pour $k = 0$ à $6$.
b) Déduis-en le reste de $3^{100}$ modulo $7$.

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Méthode

cycle des restes, puis découpage de l'exposant.

a) $1, 3, 2, 6, 4, 5, 1$ : $3^6 \equiv 1 \ [7]$.

b) $100 = 6 \times 16 + 4$, donc $3^{100} \equiv 3^4 \equiv \boxed{4} \ [7]$.

🔍 Vérification : $3^4 = 81 = 7 \times 11 + 4$ ✓

Exercice 17—Résoudre une congruence par essaisNiveau 2

Trouve les entiers $x$ entre $0$ et $6$ tels que $3x \equiv 1 \ [7]$.

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Méthode

tester les $7$ valeurs.

$3x$ pour $x = 0, \ldots, 6$ : $0, 3, 6, 9 \equiv 2, 12 \equiv 5, 15 \equiv 1, 18 \equiv 4$. Seul $\boxed{x = 5}$ convient.

🔍 Vérification : $15 = 7 \times 2 + 1$ ✓ ($5$ est un « inverse » de $3$ modulo $7$ : voir le chapitre suivant)

Exercice 18—Un problème de divisibilitéNiveau 2

Trouve tous les entiers $n \ne 1$ tels que $n - 1$ divise $n + 5$.

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Méthode

$n + 5 = (n - 1) + 6$, donc $n - 1 \mid n + 5 \iff n - 1 \mid 6$.

$n - 1 \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}$, donc $\boxed{n \in \{-5, -2, -1, 0, 2, 3, 4, 7\}}$.

🔍 Vérification : $n = -5$ : $n - 1 = -6$ divise $n + 5 = 0$ ✓

Exercice 19—La clé d'un ISBNNiveau 2

Un ISBN-13 est valide si la somme de ses chiffres, pondérés alternativement par $1$, $3$, $1$, $3$… (en commençant par $1$), est divisible par $10$. Trouve le dernier chiffre (la clé) de l'ISBN $978\text{-}2\text{-}1234\text{-}5680\text{-}?$.

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Méthode

calculer la somme pondérée des douze premiers chiffres, puis compléter jusqu'à un multiple de $10$.

Chiffres : $9, 7, 8, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 0$ ; poids $1, 3, 1, 3, \ldots$ : $9 + 21 + 8 + 6 + 1 + 6 + 3 + 12 + 5 + 18 + 8 + 0 = 97$.

Il faut ajouter $3$ pour atteindre $100$ : la clé est $\boxed{3}$.

🔍 Vérification : $97 + 3 \times 1 = 100 \equiv 0 \ [10]$ (le treizième chiffre a le poids $1$) ✓

Exercice 20—Détecter une erreurNiveau 2

On reprend l'ISBN complet de l'exercice 19. Un libraire tape par erreur $7$ au lieu de $6$ (le dixième chiffre). Montre que l'erreur est détectée.

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Méthode

recalculer la somme avec l'erreur.

Le dixième chiffre a le poids $3$ (les chiffres de rang pair ont le poids $3$). Avec l'erreur $978\text{-}2\text{-}1234\text{-}5780\text{-}3$, la somme augmente de $3 \times (7 - 6) = 3$ et vaut $103$, qui n'est pas divisible par $10$ : l'erreur est détectée.

🔍 Vérification : une erreur sur un seul chiffre change la somme de $1 \times e$ ou $3 \times e$ avec $e \ne 0$ entre $-9$ et $9$, jamais d'un multiple de $10$ : toute erreur sur un seul chiffre est détectée ✓

Exercice 21—Le critère par 9, démontréNiveau 2

Montre que $10^n \equiv 1 \ [9]$ pour tout $n$, puis que tout entier est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres.

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Méthode

$10 \equiv 1 \ [9]$, puis écriture décimale.

$10 \equiv 1$ donc $10^n \equiv 1^n = 1 \ [9]$. Si $N = a_k10^k + \cdots + a_0$, alors $N \equiv a_k + \cdots + a_0 \ [9]$ ✓.

🔍 Vérification : $123\,456 \equiv 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \equiv 3 \ [9]$, et $123\,456 = 9 \times 13\,717 + 3$ ✓

Exercice 22—Une autre familleNiveau 2

Montre que $4^n + 2$ est divisible par $3$ pour tout entier naturel $n$.

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Méthode

$4 \equiv 1 \ [3]$.

$4^n + 2 \equiv 1 + 2 = 3 \equiv 0 \ [3]$ ✓.

🔍 Vérification : $n = 3$ : $66 = 3 \times 22$ ✓

Exercice 23—Une équation modulo 7Niveau 2

a) Dresse le tableau des restes de $x^2$ modulo $7$, pour $x$ de $0$ à $6$.
b) Résous $x^2 \equiv 2 \ [7]$.

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Méthode

tableau, puis lecture.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x^2 \bmod 7$	$0$	$1$	$4$	$2$	$2$	$4$	$1$

b) $x^2 \equiv 2 \ [7] \iff \boxed{x \equiv 3 \text{ ou } x \equiv 4 \ [7]}$.

🔍 Vérification : $4^2 = 16 = 14 + 2$ ✓

Exercice 24—Le calendrierNiveau 2

Le 13 novembre 2026 est un vendredi. 2027 n'est pas bissextile, 2028 l'est.
a) Quel jour sera le 13 novembre 2027 ?
b) Quel jour sera le 13 novembre 2028 ?

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Méthode

$365 \equiv 1$ et $366 \equiv 2 \ [7]$.

a) Du 13/11/2026 au 13/11/2027 : $365$ jours (pas de 29 février entre les deux). Vendredi $+ 1$ = $\boxed{\text{samedi}}$.

b) Du 13/11/2027 au 13/11/2028 : $366$ jours (le 29 février 2028 est compris). Samedi $+ 2$ = $\boxed{\text{lundi}}$.

🔍 Vérification : un calendrier confirme : 13 novembre 2028, lundi ✓

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Les puissances de 2 modulo 9Niveau 3

a) Calcule les restes de $2^k$ modulo $9$ pour $k = 1$ à $7$. Que remarques-tu ?
b) Déduis-en le reste de $2^{2026}$ modulo $9$.

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Méthode

cycle des restes.

a) $2, 4, 8, 7, 5, 1, 2$ : les restes se répètent avec une période $6$ ($2^6 \equiv 1 \ [9]$).

b) $2026 = 6 \times 337 + 4$, donc $2^{2026} \equiv 2^4 = 16 \equiv \boxed{7} \ [9]$.

🔍 Vérification : $2^4 = 16 = 9 + 7$ ✓

Exercice 26—Une divisibilité par 7Niveau 3

Montre que, pour tout entier naturel $n$, $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ est divisible par $7$.

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Méthode

exprimer tout en fonction de $2^n$ modulo $7$.

$3^{2n+1} = 3 \times 9^n \equiv 3 \times 2^n \ [7]$ (car $9 \equiv 2$), et $2^{n+2} = 4 \times 2^n$. Donc la somme est congrue à $3 \times 2^n + 4 \times 2^n = 7 \times 2^n \equiv 0 \ [7]$ ✓.

🔍 Vérification : $n = 1$ : $27 + 8 = 35 = 7 \times 5$ ✓

Exercice 27—Le chiffrement de CésarNiveau 3

On numérote les lettres de $A = 0$ à $Z = 25$. Le chiffrement de César de clé $3$ remplace la lettre de rang $x$ par celle de rang $y \equiv x + 3 \ [26]$.
a) Chiffre le mot MATHS.
b) Comment déchiffrer ? Déchiffre KHOOR.
c) Pourquoi ce chiffrement est-il facile à casser ?

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Méthode

ajouter $3$ modulo $26$ ; pour déchiffrer, retrancher $3$.

a) M ($12$) → $15$ (P) ; A ($0$) → $3$ (D) ; T ($19$) → $22$ (W) ; H ($7$) → $10$ (K) ; S ($18$) → $21$ (V) : $\boxed{\text{PDWKV}}$.

b) $x \equiv y - 3 \ [26]$. KHOOR → $\boxed{\text{HELLO}}$.

c) Il n'y a que $25$ clés possibles : on peut toutes les essayer. Et chaque lettre est toujours chiffrée de la même façon : l'analyse des fréquences des lettres le casse aussi.

🔍 Vérification : Z ($25$) $+ 3 = 28 \equiv 2$ (C) : le décalage « fait le tour » de l'alphabet ✓

Exercice 28—Démontrer la compatibilitéNiveau 3

Démontre que si $a \equiv b \ [n]$ et $c \equiv d \ [n]$, alors $ac \equiv bd \ [n]$. Déduis-en que $a^k \equiv b^k \ [n]$ pour tout entier naturel $k$.

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Méthode

écrire $a = b + kn$, $c = d + k'n$.

$ac = bd + n(bk' + dk + kk'n)$, donc $n \mid ac - bd$ : $ac \equiv bd \ [n]$. Par récurrence sur $k$ : $a^0 \equiv b^0$ ; si $a^k \equiv b^k$, alors $a^{k+1} = a^k \times a \equiv b^k \times b = b^{k+1}$ ✓.

🔍 Vérification : $17 \equiv 2$ et $8 \equiv 3$ modulo $5$ ; $17 \times 8 = 136 \equiv 1$ et $2 \times 3 = 6 \equiv 1$ ✓

Exercice 29—n² + 1 et le nombre 3Niveau 3

Montre que $n^2 + 1$ n'est jamais divisible par $3$.

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Méthode

carrés modulo $3$.

$n \equiv 0, 1, 2$ donne $n^2 \equiv 0, 1, 1$, donc $n^2 + 1 \equiv 1$ ou $2 \ [3]$ : jamais $0$ ✓.

🔍 Vérification : $5^2 + 1 = 26$, non divisible par $3$ ✓

Exercice 30—Les sommes de deux carrésNiveau 3

a) À l'aide de l'exercice 10, montre qu'une somme de deux carrés est congrue à $0$, $1$ ou $2$ modulo $4$.
b) Déduis-en que $2\,027$ n'est pas la somme de deux carrés d'entiers.

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Méthode

additionner les restes possibles des carrés modulo $4$.

a) $a^2$ et $b^2$ valent $0$ ou $1$ modulo $4$, donc $a^2 + b^2 \equiv 0$, $1$ ou $2 \ [4]$ ✓.

b) $2\,027 = 4 \times 506 + 3$, donc $2\,027 \equiv 3 \ [4]$ : ce n'est pas une somme de deux carrés.

🔍 Vérification : de même, $3$, $7$, $11$… ne sont pas sommes de deux carrés ✓

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Cours

1 Divisibilité dans ℤ

2 Division euclidienne

3 Congruences

4 Compatibilité avec les opérations

5 Applications : critères de divisibilité et clés de contrôle

Quiz du cours

Fiche mémo

L'essentiel

Pièges à éviter

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)