Nombres complexes : forme algébrique
Cours
L'équation \(x^2 = -1\) n'a pas de solution réelle : aucun carré n'est négatif. Au XVIe siècle, des mathématiciens italiens qui cherchaient les solutions d'équations du troisième degré ont osé calculer avec une « racine de \(-1\) »… et ils trouvaient les bonnes solutions réelles à la fin. Aujourd'hui, les nombres complexes servent partout : en électricité (courant alternatif), en traitement du signal (son, image, téléphone), en mécanique quantique, en géométrie. Avec ce chapitre, tu sauras :
- calculer avec ces nouveaux nombres comme avec des réels, en sachant que \(i^2 = -1\) ;
- utiliser le conjugué pour diviser et pour reconnaître un réel ;
- résoudre des équations du premier degré, y compris avec \(z\) et son conjugué ;
- développer \((a + b)^n\) dans les complexes grâce à la formule du binôme.
1 L'ensemble des nombres complexes
On ajoute aux nombres réels un nombre nouveau, noté \(i\), dont le carré vaut \(-1\). Puis on calcule avec lui en gardant toutes les règles habituelles.
Sur la droite des réels, multiplier par \(-1\), c'est faire un demi-tour. Le nombre \(i\) est « un quart de tour » : faire deux quarts de tour, c'est faire un demi-tour, d'où \(i \times i = -1\). Les nombres complexes ne vivent plus sur une droite, mais dans un plan (on le verra au chapitre suivant).
Il existe un ensemble \(\mathbb{C}\), appelé ensemble des nombres complexes, qui contient \(\mathbb{R}\), qui contient un nombre \(i\) tel que \(i^2 = -1\), et dans lequel l'addition et la multiplication suivent les mêmes règles que dans \(\mathbb{R}\). Forme algébrique : tout nombre complexe \(z\) s'écrit de façon unique \(z = a + ib\), avec \(a\) et \(b\) réels.
- \(a\) est la partie réelle de \(z\), notée \(\operatorname{Re}(z)\) ;
- \(b\) est la partie imaginaire de \(z\), notée \(\operatorname{Im}(z)\) (c'est un réel : on ne met pas le \(i\)).
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En symboles : \(a + ib = a' + ib' \iff a = a' \text{ et } b = b'\) (avec \(a\), \(b\), \(a'\), \(b'\) réels). En mots : une égalité entre complexes donne deux égalités entre réels. C'est l'outil de base pour résoudre des équations.
Si \(b = 0\), \(z = a\) est un réel ; si \(a = 0\), \(z = ib\) est un imaginaire pur. Le nombre \(0\) est les deux à la fois.
Étape 1 — Écrire sous la forme \(a + ib\). \(z_1 = 3 - 2i = 3 + i \times (-2)\) ; \(z_2 = 5i = 0 + i \times 5\) ; \(z_3 = -4 = -4 + i \times 0\).
Étape 2 — Lire. \(\operatorname{Re}(z_1) = 3\) et \(\operatorname{Im}(z_1) = -2\) ; \(\operatorname{Re}(z_2) = 0\) et \(\operatorname{Im}(z_2) = 5\) (imaginaire pur) ; \(\operatorname{Re}(z_3) = -4\) et \(\operatorname{Im}(z_3) = 0\) (réel).
🔍 Vérification : on reconstruit \(3 + i \times (-2) = 3 - 2i\) ✓.
- ❌ \(\operatorname{Im}(3 - 2i) = -2i\). ✅ La partie imaginaire est le réel \(-2\).
- ❌ « \(i\) est un réel très spécial. » ✅ \(i\) n'est pas réel : aucun réel n'a un carré négatif.
- ❌ Écrire \(\sqrt{-1} = i\) et calculer \(\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{1} = 1\). ✅ La règle \(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}\) n'est valable que pour \(a, b \geqslant 0\) ; on n'écrit jamais \(\sqrt{-1}\).
Donne la partie réelle et la partie imaginaire de \(z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i\), puis de \(w = -7i\).
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\(\operatorname{Re}(z) = \dfrac{1}{2}\) et \(\operatorname{Im}(z) = -\dfrac{3}{4}\) ; \(\operatorname{Re}(w) = 0\) et \(\operatorname{Im}(w) = -7\) (\(w\) est imaginaire pur).
\(i^2 = -1\) ; \(z = a + ib\) de façon unique, avec \(\operatorname{Re}(z) = a\) et \(\operatorname{Im}(z) = b\) réels. Une égalité de complexes = deux égalités de réels.
2 Opérations
On additionne et on multiplie exactement comme avec des expressions littérales en \(i\), puis on remplace \(i^2\) par \(-1\).
Calcule \((3 + 2i)(1 - 5i)\) comme tu calculerais \((3 + 2x)(1 - 5x)\) : on développe. Le seul changement, c'est qu'à la fin \(i^2\) devient \(-1\), ce qui fait « tomber » le terme en \(i^2\) dans la partie réelle.
Pour \(z = a + ib\) et \(z' = a' + ib'\), \[z + z' = (a + a') + i(b + b'), \qquad z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b).\] En mots : pour la somme, on ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles. Pour le produit, on développe et on utilise \(i^2 = -1\) : il n'est pas utile d'apprendre la formule.
L'idée en une phrase : on développe, puis on regroupe.
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Étape 1 — Développer. \((a + ib)(a' + ib') = aa' + iab' + ia'b + i^2 bb'\), par double distributivité (les règles de calcul de \(\mathbb{R}\) restent valables).
Étape 2 — Remplacer \(i^2\). Comme \(i^2 = -1\), le dernier terme vaut \(-bb'\).
Étape 3 — Regrouper. On obtient \((aa' - bb') + i(ab' + a'b)\), qui est bien une forme algébrique ✓.
\(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = i^2 \times i = -i\), \(i^4 = (i^2)^2 = 1\). Ensuite, tout recommence : les puissances de \(i\) se répètent tous les \(4\). Pour calculer \(i^n\), on cherche le reste de la division de \(n\) par \(4\).
\(z = 3 + 2i\) et \(z' = 1 - 5i\).
Étape 1 — La somme. \(z + z' = (3 + 1) + i(2 - 5) = 4 - 3i\).
Étape 2 — Le produit. \(z z' = 3 \times 1 + 3 \times (-5i) + 2i \times 1 + 2i \times (-5i) = 3 - 15i + 2i - 10i^2\).
Étape 3 — Remplacer \(i^2\) et regrouper. \(-10i^2 = -10 \times (-1) = 10\), donc \(z z' = (3 + 10) + (-15 + 2)i = \boxed{13 - 13i}\).
🔍 Vérification : avec la formule, \(aa' - bb' = 3 - (2)(-5) = 13\) et \(ab' + a'b = 3 \times (-5) + 1 \times 2 = -13\) ✓.
Étape 1 — \((2 + i)^2\). \((2 + i)^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i\).
Étape 2 — \(i^{2026}\). \(2026 = 4 \times 506 + 2\), donc \(i^{2026} = (i^4)^{506} \times i^2 = 1 \times (-1) = \boxed{-1}\).
🔍 Vérification : \((3 + 4i)\) a bien pour partie réelle \(2^2 - 1^2 = 3\) ✓ ; et \(i^2 = -1\) ✓.
- ❌ \((2 + i)^2 = 4 + i^2 = 3\). ✅ On n'oublie pas le double produit : \((2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i\).
- ❌ \((a + ib)(a' + ib') = aa' + ibb'\). ✅ On développe tous les termes (quatre produits).
- ❌ \(i^3 = 1\) ou \(i^3 = -1\). ✅ \(i^3 = i^2 \times i = -i\).
Calcule \((1 + i)^2\), puis \((1 + i)^4\), puis \((1 - 2i)(3 + i)\).
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\((1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i\). Donc \((1 + i)^4 = \left((1 + i)^2\right)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4\). Enfin \((1 - 2i)(3 + i) = 3 + i - 6i - 2i^2 = 3 - 5i + 2 = 5 - 5i\).
On développe comme d'habitude et on remplace \(i^2\) par \(-1\). \(i^n\) dépend du reste de \(n\) dans la division par \(4\) : \(1\), \(i\), \(-1\), \(-i\).
3 Le conjugué
Changer le signe de la partie imaginaire donne un nouveau complexe, le conjugué. Il sert à diviser et à reconnaître les réels.
\((4 - 3i)(4 + 3i) = 16 - 9i^2 = 16 + 9 = 25\). Le produit est réel ! C'est l'identité \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\) avec \(b^2 = (3i)^2 = -9\) : le signe moins devient un plus.
Le conjugué de \(z = a + ib\) (avec \(a\), \(b\) réels) est le nombre complexe \(\overline{z} = a - ib\). En mots : on garde la partie réelle et on change le signe de la partie imaginaire.
Pour tous complexes \(z = a + ib\) et \(z'\),
- \(z + \overline{z} = 2a = 2\operatorname{Re}(z)\) et \(z - \overline{z} = 2ib = 2i\operatorname{Im}(z)\) ;
- \(z\,\overline{z} = a^2 + b^2\) : c'est un réel positif ;
- \(z\) est réel si, et seulement si, \(\overline{z} = z\) ; \(z\) est imaginaire pur si, et seulement si, \(\overline{z} = -z\) ;
- \(\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}\), \(\overline{z z'} = \overline{z}\;\overline{z'}\), \(\overline{z^n} = \left(\overline{z}\right)^n\) pour tout entier naturel \(n\), et, si \(z' \ne 0\), \(\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)} = \dfrac{1}{\overline{z'}}\). En mots : le conjugué d'une somme, d'un produit, d'une puissance ou d'un inverse s'obtient en conjuguant chaque morceau.
L'idée en une phrase : on calcule les deux membres sous forme algébrique et on compare ; pour les puissances, on enchaîne le cas du produit.
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Étape 1 — \(z\,\overline{z}\). \((a + ib)(a - ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 - i^2b^2 = a^2 + b^2\), car \(i^2 = -1\). C'est une somme de carrés de réels, donc un réel positif.
Étape 2 — Conjugué d'un produit. Avec \(z' = a' + ib'\) : \(z z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)\), donc \(\overline{z z'} = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)\). De l'autre côté, \(\overline{z}\;\overline{z'} = (a - ib)(a' - ib') = aa' - iab' - ia'b + i^2bb' = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)\). Les deux résultats sont égaux ✓.
Étape 3 — Conjugué d'une puissance. On raisonne par récurrence sur \(n\). Pour \(n = 0\) : \(\overline{z^0} = \overline{1} = 1 = \left(\overline{z}\right)^0\). Si \(\overline{z^n} = \left(\overline{z}\right)^n\) pour un certain \(n\), alors \(\overline{z^{n+1}} = \overline{z^n \times z} = \overline{z^n} \times \overline{z}\) (étape 2) \(= \left(\overline{z}\right)^n \times \overline{z} = \left(\overline{z}\right)^{n+1}\) ✓.
Étape 4 — Conjugué d'un inverse. Si \(z' \ne 0\), on applique l'étape 2 à \(z' \times \dfrac{1}{z'} = 1\) : \(\overline{z'} \times \overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)} = \overline{1} = 1\). Donc \(\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}\) est l'inverse de \(\overline{z'}\) ✓ (\(\overline{z'} \ne 0\) car \(z' \ne 0\)).
Étape 5 — Réel et imaginaire pur. \(\overline{z} = z \iff a - ib = a + ib \iff 2ib = 0 \iff b = 0\) ; de même, \(\overline{z} = -z \iff a - ib = -a - ib \iff a = 0\) ✓.
Soit \(z\) un complexe quelconque. Montrer que \(Z = z^2 + \overline{z}^2\) est réel.
Étape 1 — Calculer le conjugué. \(\overline{Z} = \overline{z^2} + \overline{\overline{z}^2} = \overline{z}^2 + z^2\), car le conjugué d'une puissance est la puissance du conjugué, et le conjugué de \(\overline{z}\) est \(z\).
Étape 2 — Comparer. \(\overline{Z} = \overline{z}^2 + z^2 = Z\).
Étape 3 — Conclure. \(Z\) est égal à son conjugué, donc \(Z\) est réel ✓.
🔍 Vérification : avec \(z = 1 + 2i\), \(z^2 = -3 + 4i\) et \(\overline{z}^2 = -3 - 4i\) : la somme vaut \(-6\), qui est bien réel ✓.
- ❌ \(\overline{3 - 2i} = -3 + 2i\). ✅ On ne change que la partie imaginaire : \(\overline{3 - 2i} = 3 + 2i\).
- ❌ \(z\,\overline{z} = a^2 - b^2\). ✅ \(z\,\overline{z} = a^2 + b^2\) : le signe moins disparaît car \(i^2 = -1\).
Soit \(z = 4 - 3i\). Calcule \(\overline{z}\), \(z + \overline{z}\) et \(z\,\overline{z}\).
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\(\overline{z} = 4 + 3i\) ; \(z + \overline{z} = 8 = 2\operatorname{Re}(z)\) ; \(z\,\overline{z} = 4^2 + 3^2 = 25\).
\(\overline{a + ib} = a - ib\) ; \(z\,\overline{z} = a^2 + b^2\) réel positif ; \(z\) réel \(\iff \overline{z} = z\). Le conjugué « passe » à travers les sommes, produits, puissances et inverses.
4 Inverse et quotient
Pour écrire \(\dfrac{1}{3 + 4i}\) sous forme algébrique, il faut se débarrasser du \(i\) au dénominateur. Le conjugué fait exactement cela.
C'est la même idée que pour \(\dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}\), qu'on multiplie en haut et en bas par \(\sqrt{2} - 1\) pour obtenir un dénominateur sans racine. Ici, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient le réel \(a^2 + b^2\).
Tout nombre complexe \(z = a + ib\) non nul a un inverse : \[\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z\,\overline{z}} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}.\] En mots : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Comme \(z \ne 0\), \(a^2 + b^2 \ne 0\) : la division est permise.
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\overline{z'}\) ; on développe le numérateur ; le dénominateur vaut \(a'^2 + b'^2\) ; on sépare partie réelle et partie imaginaire.
Étape 1 — L'inverse de \(3 + 4i\). \(\dfrac{1}{3 + 4i} = \dfrac{3 - 4i}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \dfrac{3 - 4i}{9 + 16} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}i\).
Étape 2 — Le quotient \(\dfrac{2 + i}{1 - i}\). On multiplie par \(\overline{1 - i} = 1 + i\) : \(\dfrac{(2 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{2 + 2i + i + i^2}{1 + 1} = \dfrac{1 + 3i}{2} = \boxed{\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i}\).
🔍 Vérification : \((1 - i)\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i - \dfrac{1}{2}i - \dfrac{3}{2}i^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} + i = 2 + i\) ✓.
- ❌ Multiplier seulement le dénominateur par le conjugué. ✅ On multiplie en haut et en bas, sinon on change la valeur de la fraction.
- ❌ \(\dfrac{1}{3 + 4i} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4i}\). ✅ L'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses.
Écris sous forme algébrique \(\dfrac{1}{1 + 2i}\) et \(\dfrac{5 + 5i}{2 - i}\).
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\(\dfrac{1}{1 + 2i} = \dfrac{1 - 2i}{1 + 4} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i\). Puis \(\dfrac{(5 + 5i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \dfrac{10 + 5i + 10i + 5i^2}{5} = \dfrac{5 + 15i}{5} = 1 + 3i\).
Pour diviser, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur ; le dénominateur devient \(a^2 + b^2\).
5 Équations du premier degré
Une équation d'inconnue complexe se résout soit comme dans \(\mathbb{R}\) (on isole \(z\)), soit en posant \(z = x + iy\) quand le conjugué \(\overline{z}\) apparaît.
\((2 + i)z = 3 - i\) se résout comme \(2z = 6\) : on divise. Mais \(z + 2\overline{z} = 6 - i\) mélange \(z\) et \(\overline{z}\), qu'on ne sait pas regrouper directement : on écrit \(z = x + iy\) et on obtient deux équations réelles grâce à l'égalité des parties réelles et imaginaires.
Si \(a \ne 0\), l'équation \(az = b\) a une unique solution dans \(\mathbb{C}\) : \(z = \dfrac{b}{a}\).
- on pose \(z = x + iy\) avec \(x\), \(y\) réels, donc \(\overline{z} = x - iy\) ;
- on écrit le premier membre sous forme algébrique ;
- on identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations réelles ;
- on résout, puis on vérifie.
Étape 1 — Isoler \(z\). \(2 + i \ne 0\), donc \(z = \dfrac{3 - i}{2 + i}\).
Étape 2 — Forme algébrique. \(z = \dfrac{(3 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \dfrac{6 - 3i - 2i + i^2}{5} = \dfrac{5 - 5i}{5} = \boxed{1 - i}\).
🔍 Vérification : \((2 + i)(1 - i) = 2 - 2i + i - i^2 = 3 - i\) ✓.
Étape 1 — Poser \(z = x + iy\). Alors \(z + 2\overline{z} = x + iy + 2(x - iy) = 3x - iy\).
Étape 2 — Identifier. \(3x - iy = 6 - i \iff 3x = 6\) et \(-y = -1\) (même partie réelle, même partie imaginaire).
Étape 3 — Résoudre. \(x = 2\) et \(y = 1\) : l'unique solution est \(\boxed{z = 2 + i}\).
🔍 Vérification : \(2 + i + 2(2 - i) = 2 + i + 4 - 2i = 6 - i\) ✓.
- ❌ « \(z + 2\overline{z} = 3z\). » ✅ \(z\) et \(\overline{z}\) sont deux nombres différents (sauf si \(z\) est réel) : on ne peut pas les additionner comme des termes semblables.
- ❌ Oublier que \(x\) et \(y\) doivent être réels pour identifier. ✅ L'identification n'est valable qu'avec des parties réelles et imaginaires réelles.
Résous \((1 - i)z = 2i\).
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\(z = \dfrac{2i}{1 - i} = \dfrac{2i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{2i + 2i^2}{2} = \dfrac{-2 + 2i}{2} = -1 + i\). Vérification : \((1 - i)(-1 + i) = -1 + i + i - i^2 = 2i\) ✓.
\(az = b\) avec \(a \ne 0\) donne \(z = \dfrac{b}{a}\). Avec \(\overline{z}\), on pose \(z = x + iy\) et on identifie : deux équations réelles.
6 La formule du binôme dans ℂ
Pour développer \((1 + i)^5\), on pourrait multiplier cinq fois. La formule du binôme, vue en spécialité avec les coefficients binomiaux, reste vraie dans \(\mathbb{C}\).
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) et \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Les coefficients \(1\), \(2\), \(1\) puis \(1\), \(3\), \(3\), \(1\) sont ceux du triangle de Pascal : ce sont les coefficients binomiaux \(\dbinom{n}{k}\).
Pour tous nombres complexes \(a\) et \(b\) et tout entier naturel \(n\), \[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{n}b^n.\] En mots : on écrit tous les produits \(a^{n-k}b^k\) (les exposants font toujours \(n\)), chacun multiplié par le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\) lu dans le triangle de Pascal.
L'idée en une phrase : on raisonne par récurrence sur \(n\), et la relation de Pascal fait apparaître les coefficients de la ligne suivante.
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Étape 1 — Initialisation. Pour \(n = 0\) : \((a + b)^0 = 1\) et \(\dbinom{0}{0}a^0b^0 = 1\) ✓.
Étape 2 — Hérédité : multiplier par \(a + b\). Supposons la formule vraie au rang \(n\). Alors \((a + b)^{n+1} = (a + b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k} b^k + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k+1}\), en distribuant (règles de calcul valables dans \(\mathbb{C}\)).
Étape 3 — Regrouper les termes en \(a^{n+1-k}b^k\). Dans la seconde somme, on pose \(j = k + 1\) : elle devient \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1} \binom{n}{j-1} a^{n+1-j} b^j\). Pour \(1 \leqslant k \leqslant n\), le terme en \(a^{n+1-k}b^k\) a donc pour coefficient \(\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k-1} = \dbinom{n+1}{k}\) (relation de Pascal). Les termes extrêmes sont \(a^{n+1}\) et \(b^{n+1}\), de coefficient \(1 = \dbinom{n+1}{0} = \dbinom{n+1}{n+1}\).
Étape 4 — Conclure. \((a + b)^{n+1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k\) : la formule est vraie au rang \(n + 1\), donc pour tout \(n\) ✓.
Étape 1 — Les coefficients. Ligne \(5\) du triangle de Pascal : \(1\), \(5\), \(10\), \(10\), \(5\), \(1\).
Étape 2 — Les puissances de \(i\). \(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\), \(i^5 = i\).
Étape 3 — Écrire la somme (avec \(a = 1\), toutes les puissances de \(a\) valent \(1\)) : \((1 + i)^5 = 1 + 5i + 10i^2 + 10i^3 + 5i^4 + i^5 = 1 + 5i - 10 - 10i + 5 + i\).
Étape 4 — Regrouper. Partie réelle : \(1 - 10 + 5 = -4\) ; partie imaginaire : \(5 - 10 + 1 = -4\). Donc \(\boxed{(1 + i)^5 = -4 - 4i}\).
🔍 Vérification : \((1 + i)^4 = -4\) (partie 2), donc \((1 + i)^5 = -4(1 + i) = -4 - 4i\) ✓.
- ❌ \((a + b)^n = a^n + b^n\). ✅ Il manque tous les termes « mélangés » : \((1 + i)^2 = 2i\), pas \(1 + i^2 = 0\).
- ❌ Oublier de mettre \(b\) entre parenthèses quand il est négatif ou imaginaire. ✅ \((2 - i)^3\) : on prend \(b = -i\), et \(b^2 = (-i)^2 = -1\).
Développe \((2 - i)^3\) avec la formule du binôme.
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Avec \(a = 2\), \(b = -i\) et les coefficients \(1\), \(3\), \(3\), \(1\) : \((2 - i)^3 = 8 + 3 \times 4 \times (-i) + 3 \times 2 \times (-i)^2 + (-i)^3 = 8 - 12i - 6 + i = 2 - 11i\) (car \((-i)^2 = -1\) et \((-i)^3 = i\)).
\((a + b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\), vraie dans \(\mathbb{C}\). Avec \(b = i\), on remplace les puissances de \(i\) par \(1\), \(i\), \(-1\), \(-i\).
On représente les complexes par des points du plan. On verra le module \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) (le \(z\,\overline{z}\) de la partie 3 en est le carré) et l'argument, qui mesure un angle.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 8 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Quelle est la partie imaginaire de \(z = 3 - 2i\) ?
\(z = 3 + i \times (-2)\) : la partie imaginaire est le réel \(-2\), sans le \(i\).
Quelle est la forme algébrique de \((3 + 2i)(1 - 5i)\) ?
\(3 - 15i + 2i - 10i^2 = 3 - 13i + 10 = 13 - 13i\), car \(i^2 = -1\).
Combien vaut \(i^{2026}\) ?
\(2026 = 4 \times 506 + 2\), donc \(i^{2026} = i^2 = -1\).
Soit \(z = 4 - 3i\). Combien vaut \(z\,\overline{z}\) ?
Réponse attendue : \(25\)
\(z\,\overline{z} = a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 25\).
Vrai ou faux : pour tout complexe \(z\), le nombre \(z + \overline{z}\) est réel.
Avec \(z = a + ib\), \(z + \overline{z} = 2a = 2\operatorname{Re}(z)\), qui est réel.
Quelle est la forme algébrique de \(\dfrac{1}{3 + 4i}\) ?
On multiplie en haut et en bas par le conjugué \(3 - 4i\) : le dénominateur devient \(3^2 + 4^2 = 25\).
Quelle est la solution de l'équation \(z + 2\overline{z} = 6 - i\) ?
Avec \(z = x + iy\) : \(3x - iy = 6 - i\), donc \(x = 2\) et \(y = 1\).
Quelle est la forme algébrique de \((1 + i)^5\) ?
Binôme : \(1 + 5i + 10i^2 + 10i^3 + 5i^4 + i^5 = 1 + 5i - 10 - 10i + 5 + i = -4 - 4i\).
À revoir dans le cours :
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Nombre \(i\) | \(i^2 = -1\) ; \(i^3 = -i\) ; \(i^4 = 1\) ; \(i^n\) selon le reste de \(n\) modulo \(4\) |
| Forme algébrique | \(z = a + ib\), unique, \(a = \operatorname{Re}(z)\), \(b = \operatorname{Im}(z)\) réels |
| Égalité | \(a + ib = a' + ib' \iff a = a'\) et \(b = b'\) |
| Produit | on développe et \(i^2 = -1\) : \((a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)\) |
| Conjugué | \(\overline{a + ib} = a - ib\) ; \(z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z)\) ; \(z - \overline{z} = 2i\operatorname{Im}(z)\) |
| \(z\,\overline{z}\) | \(a^2 + b^2\), réel positif |
| Réel / imaginaire pur | \(z \in \mathbb{R} \iff \overline{z} = z\) ; \(z\) imaginaire pur \(\iff \overline{z} = -z\) |
| Règles du conjugué | \(\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}\), \(\overline{zz'} = \overline{z}\,\overline{z'}\), \(\overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}\), \(\overline{1/z} = 1/\overline{z}\) |
| Inverse, quotient | on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur |
| Équation \(az = b\) | \(z = \dfrac{b}{a}\) si \(a \ne 0\) |
| Avec \(\overline{z}\) | poser \(z = x + iy\) et identifier |
| Binôme | \((a + b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\) |
Pièges à éviter
- \(\operatorname{Im}(a + ib) = b\), sans le \(i\).
- Ne jamais écrire \(\sqrt{-1}\).
- \((a + ib)^2 = a^2 - b^2 + 2abi\) : ne pas oublier le double produit.
- \(z\,\overline{z} = a^2 + b^2\), avec un plus.
- \(z\) et \(\overline{z}\) ne se regroupent pas : poser \(z = x + iy\).
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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Donne la partie réelle et la partie imaginaire de chaque nombre, et dis s'il est réel, imaginaire pur ou ni l'un ni l'autre :
a) \(z_1 = 3 - 2i\)
b) \(z_2 = 5i\)
c) \(z_3 = -4\)
d) \(z_4 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i\)
Voir la correction›
écrire chaque nombre sous la forme \(a + ib\) ; la partie imaginaire est le réel \(b\).
| Nombre | \(\operatorname{Re}\) | \(\operatorname{Im}\) | Nature |
|---|---|---|---|
| \(3 - 2i\) | \(3\) | \(-2\) | ni réel ni imaginaire pur |
| \(5i\) | \(0\) | \(5\) | imaginaire pur |
| \(-4\) | \(-4\) | \(0\) | réel |
| \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{3}{4}\) | ni réel ni imaginaire pur |
🔍 Vérification : \(0 + 5i = 5i\) ✓ et \(-4 + 0i = -4\) ✓
\(\operatorname{Im}(3 - 2i) = -2\), pas \(-2i\).
Écris sous forme algébrique :
a) \((2 + 3i) + (4 - i)\)
b) \((2 + 3i) - (4 - i)\)
c) \((-1 + 2i) + 3 - 4i\)
Voir la correction›
on additionne les parties réelles entre elles, les parties imaginaires entre elles.
a) \((2 + 4) + (3 - 1)i = \boxed{6 + 2i}\)
b) \((2 - 4) + (3 - (-1))i = \boxed{-2 + 4i}\)
c) \((-1 + 3) + (2 - 4)i = \boxed{2 - 2i}\)
🔍 Vérification :
a) +
b) \(= 4 + 6i = 2(2 + 3i)\) ✓ (somme et différence de deux mêmes nombres)
En b), le signe moins porte sur toute la parenthèse : \(-(4 - i) = -4 + i\).
Écris sous forme algébrique :
a) \((2 + 3i)(4 - i)\)
b) \((1 + i)(1 - i)\)
c) \(3(2 - 5i)\)
d) \(2i(-1 + 3i)\)
Voir la correction›
on développe, puis \(i^2 = -1\).
a) \((2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i + 3 = \boxed{11 + 10i}\)
b) \((1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 + 1 = \boxed{2}\)
c) \(3(2 - 5i) = \boxed{6 - 15i}\)
d) \(2i(-1 + 3i) = -2i + 6i^2 = \boxed{-6 - 2i}\)
🔍 Vérification : a) \(aa' - bb' = 2 \times 4 - 3 \times (-1) = 11\) ✓ et \(ab' + a'b = 2 \times (-1) + 4 \times 3 = 10\) ✓
Calcule \(i^2\), \(i^3\), \(i^4\), \(i^5\), puis \(i^{10}\), \(i^{23}\) et \(i^{100}\).
Voir la correction›
les puissances de \(i\) se répètent tous les \(4\) : on regarde le reste de l'exposant dans la division par \(4\).
\(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), \(i^4 = 1\), \(i^5 = i^4 \times i = i\).
| Exposant | Division par \(4\) | Résultat |
|---|---|---|
| \(10\) | \(10 = 4 \times 2 + 2\) | \(i^{10} = i^2 = \boxed{-1}\) |
| \(23\) | \(23 = 4 \times 5 + 3\) | \(i^{23} = i^3 = \boxed{-i}\) |
| \(100\) | \(100 = 4 \times 25 + 0\) | \(i^{100} = 1 = \boxed{1}\) |
🔍 Vérification : \(i^{10} = (i^2)^5 = (-1)^5 = -1\) ✓
Écris sous forme algébrique :
a) \((1 + 2i)^2\)
b) \((3 - i)^2\)
c) \((2 + 3i)(2 - 3i)\)
Voir la correction›
identités remarquables, sans oublier que \(i^2 = -1\).
a) \((1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = \boxed{-3 + 4i}\)
b) \((3 - i)^2 = 9 - 6i + i^2 = \boxed{8 - 6i}\)
c) \((2 + 3i)(2 - 3i) = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = \boxed{13}\)
🔍 Vérification : c) c'est \(z\,\overline{z}\) avec \(z = 2 + 3i\), qui doit valoir \(2^2 + 3^2 = 13\) ✓
Donne le conjugué de :
a) \(5 + 2i\)
b) \(-1 - 4i\)
c) \(7i\)
d) \(6\)
Voir la correction›
on change le signe de la partie imaginaire, et seulement elle.
a) \(\boxed{5 - 2i}\)
b) \(\boxed{-1 + 4i}\)
c) \(\boxed{-7i}\)
d) \(\boxed{6}\)
🔍 Vérification :
d) un réel est égal à son conjugué ✓ ;
c) un imaginaire pur est égal à l'opposé de son conjugué ✓
Écris sous forme algébrique l'inverse de :
a) \(1 + i\)
b) \(i\)
c) \(2 - i\)
d) \(3 + 4i\)
Voir la correction›
\(\dfrac{1}{a + ib} = \dfrac{a - ib}{a^2 + b^2}\).
a) \(\dfrac{1}{1 + i} = \dfrac{1 - i}{1 + 1} = \boxed{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i}\)
b) \(\dfrac{1}{i} = \dfrac{-i}{i \times (-i)} = \dfrac{-i}{1} = \boxed{-i}\)
c) \(\dfrac{1}{2 - i} = \dfrac{2 + i}{4 + 1} = \boxed{\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}i}\)
d) \(\dfrac{1}{3 + 4i} = \dfrac{3 - 4i}{9 + 16} = \boxed{\dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}i}\)
🔍 Vérification :
b) \(i \times (-i) = -i^2 = 1\) ✓ ;
c) \((2 - i)(2 + i) = 5\), et \(5 \times \dfrac{1}{5} = 1\) ✓
Écris sous forme algébrique :
a) \(\dfrac{1 + 2i}{1 - i}\)
b) \(\dfrac{4 + 2i}{1 + i}\)
c) \(\dfrac{5i}{2 + i}\)
Voir la correction›
on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.
a) \(\dfrac{(1 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{1 + i + 2i + 2i^2}{2} = \dfrac{-1 + 3i}{2} = \boxed{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i}\)
b) \(\dfrac{(4 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{4 - 4i + 2i - 2i^2}{2} = \dfrac{6 - 2i}{2} = \boxed{3 - i}\)
c) \(\dfrac{5i(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \dfrac{10i - 5i^2}{5} = \dfrac{5 + 10i}{5} = \boxed{1 + 2i}\)
🔍 Vérification :
b) \((1 + i)(3 - i) = 3 - i + 3i - i^2 = 4 + 2i\) ✓ ;
c) \((2 + i)(1 + 2i) = 2 + 4i + i + 2i^2 = 5i\) ✓
Trouve les réels \(x\) et \(y\) tels que \((x + 3) + i(2y - 1) = 1 + 5i\).
Voir la correction›
deux complexes sont égaux si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales (\(x\) et \(y\) sont réels).
\[\begin{cases} x + 3 = 1 \\ 2y - 1 = 5 \end{cases} \iff \begin{cases} x = -2 \\ y = 3 \end{cases}\]
\[\boxed{x = -2 \text{ et } y = 3}\]
🔍 Vérification : \((-2 + 3) + i(6 - 1) = 1 + 5i\) ✓
Résous dans \(\mathbb{C}\) :
a) \(z + 2 = 3 - i\)
b) \(iz = 1\)
c) \(2z - 1 = z + i\)
Voir la correction›
on isole \(z\) comme dans \(\mathbb{R}\).
a) \(z = 3 - i - 2 = \boxed{1 - i}\)
b) \(z = \dfrac{1}{i} = \boxed{-i}\) (voir l'exercice 7)
c) \(2z - z = i + 1\), donc \(\boxed{z = 1 + i}\)
🔍 Vérification :
b) \(i \times (-i) = -i^2 = 1\) ✓ ;
c) \(2(1 + i) - 1 = 1 + 2i\) et \((1 + i) + i = 1 + 2i\) ✓
Résous dans \(\mathbb{C}\) :
a) \((1 + i)z = 2\)
b) \(3z - i = 2 + 5i\)
Voir la correction›
\(az = b\) avec \(a \ne 0\) donne \(z = \dfrac{b}{a}\), puis forme algébrique.
a) \(z = \dfrac{2}{1 + i} = \dfrac{2(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{2 - 2i}{2} = \boxed{1 - i}\)
b) \(3z = 2 + 5i + i = 2 + 6i\), donc \(z = \boxed{\dfrac{2}{3} + 2i}\)
🔍 Vérification :
a) \((1 + i)(1 - i) = 2\) ✓ ;
b) \(3\left(\dfrac{2}{3} + 2i\right) - i = 2 + 6i - i = 2 + 5i\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
On pose \(z_1 = 1 + 2i\) et \(z_2 = 3 - i\).
a) Calcule \(z_1 + z_2\) et \(z_1 z_2\).
b) Calcule \(\overline{z_1 z_2}\) et \(\overline{z_1}\;\overline{z_2}\). Que constates-tu ?
c) Écris \(\dfrac{z_1}{z_2}\) sous forme algébrique.
Voir la correction›
calculs algébriques, puis comparaison avec la propriété \(\overline{zz'} = \overline{z}\,\overline{z'}\).
a) \(z_1 + z_2 = \boxed{4 + i}\) ; \(z_1 z_2 = (1 + 2i)(3 - i) = 3 - i + 6i - 2i^2 = \boxed{5 + 5i}\)
b) \(\overline{z_1 z_2} = \boxed{5 - 5i}\) ; \(\overline{z_1}\;\overline{z_2} = (1 - 2i)(3 + i) = 3 + i - 6i - 2i^2 = \boxed{5 - 5i}\).
On constate que \(\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\;\overline{z_2}\) : c'est la propriété du conjugué d'un produit.
c) \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \dfrac{3 + i + 6i + 2i^2}{10} = \dfrac{1 + 7i}{10} = \boxed{\dfrac{1}{10} + \dfrac{7}{10}i}\)
🔍 Vérification : \((3 - i)\left(\dfrac{1}{10} + \dfrac{7}{10}i\right) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{21}{10}i - \dfrac{1}{10}i - \dfrac{7}{10}i^2 = 1 + 2i\) ✓
a) Soit \(z = a + ib\) avec \(a\), \(b\) réels. Exprime \(\operatorname{Re}(z^2)\) et \(\operatorname{Im}(z^2)\) en fonction de \(a\) et \(b\).
b) Calcule \((3 + 2i)^2\), \((1 - i)^3\) et \((1 + i)^3\).
Voir la correction›
\((a + ib)^2 = a^2 + 2abi + i^2b^2\).
a) \(z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi\), donc \(\boxed{\operatorname{Re}(z^2) = a^2 - b^2 \text{ et } \operatorname{Im}(z^2) = 2ab}\).
b)
- \((3 + 2i)^2 = (9 - 4) + 2 \times 3 \times 2\,i = \boxed{5 + 12i}\) ;
- \((1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i\), donc \((1 - i)^3 = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2 = \boxed{-2 - 2i}\) ;
- \((1 + i)^2 = 2i\), donc \((1 + i)^3 = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = \boxed{-2 + 2i}\).
🔍 Vérification : \((1 + i)^3\) et \((1 - i)^3\) sont conjugués, comme \(1 + i\) et \(1 - i\) (\(\overline{z^3} = \overline{z}^3\)) ✓
Soit \(m\) un réel et \(Z = (2 + i)(m + 3i)\).
a) Écris \(Z\) sous forme algébrique, en fonction de \(m\).
b) Pour quelle valeur de \(m\) le nombre \(Z\) est-il réel ? Que vaut alors \(Z\) ?
c) Pour quelle valeur de \(m\) est-il imaginaire pur ? Que vaut alors \(Z\) ?
Voir la correction›
forme algébrique en fonction de \(m\), puis réel ⇔ partie imaginaire nulle ; imaginaire pur ⇔ partie réelle nulle.
a) \(Z = 2m + 6i + im + 3i^2 = \boxed{(2m - 3) + i(m + 6)}\)
b) \(Z\) réel \(\iff m + 6 = 0 \iff \boxed{m = -6}\). Alors \(Z = 2 \times (-6) - 3 = \boxed{-15}\).
c) \(Z\) imaginaire pur \(\iff 2m - 3 = 0 \iff \boxed{m = \dfrac{3}{2}}\). Alors \(Z = i\left(\dfrac{3}{2} + 6\right) = \boxed{\dfrac{15}{2}i}\).
🔍 Vérification : b) \((2 + i)(-6 + 3i) = -12 + 6i - 6i + 3i^2 = -15\) ✓
Résous dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(2z - \overline{z} = 3 + 6i\).
Voir la correction›
\(z\) et \(\overline{z}\) apparaissent : on pose \(z = x + iy\) (\(x\), \(y\) réels) et on identifie.
Étape 1 — Forme algébrique du premier membre. \(2z - \overline{z} = 2(x + iy) - (x - iy) = 2x + 2iy - x + iy = x + 3iy\).
Étape 2 — Identification. \[x + 3iy = 3 + 6i \iff \begin{cases} x = 3 \\ 3y = 6 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\]
L'unique solution est \(\boxed{z = 3 + 2i}\).
🔍 Vérification : \(2(3 + 2i) - (3 - 2i) = 6 + 4i - 3 + 2i = 3 + 6i\) ✓
Résous dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z + 3i\overline{z} = 5 + 7i\).
Voir la correction›
poser \(z = x + iy\), développer, identifier.
Étape 1 — Forme algébrique. \(z + 3i\overline{z} = x + iy + 3i(x - iy) = x + iy + 3ix - 3i^2y = (x + 3y) + i(3x + y)\).
Étape 2 — Le système. \[\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 3x + y = 7 \end{cases}\]
Étape 3 — Résolution. De la deuxième équation, \(y = 7 - 3x\). Dans la première : \(x + 21 - 9x = 5\), donc \(-8x = -16\) et \(x = 2\), puis \(y = 7 - 6 = 1\).
L'unique solution est \(\boxed{z = 2 + i}\).
🔍 Vérification : \(2 + i + 3i(2 - i) = 2 + i + 6i - 3i^2 = 2 + 7i + 3 = 5 + 7i\) ✓
\(3i \times (-iy) = -3i^2 y = +3y\) : ce terme va dans la partie réelle.
On pose \(w = \dfrac{1 + i}{1 - i}\).
a) Écris \(w\) sous forme algébrique.
b) Déduis-en \(w^{2026}\).
Voir la correction›
forme algébrique d'abord, puis puissances de \(i\).
a) \(w = \dfrac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{1 + 2i + i^2}{2} = \dfrac{2i}{2} = \boxed{i}\)
b) \(2026 = 4 \times 506 + 2\), donc \(w^{2026} = i^{2026} = i^2 = \boxed{-1}\).
🔍 Vérification : \((1 - i) \times i = i - i^2 = 1 + i\) ✓, donc \(w = i\)
a) Calcule \((1 + i)^2\), puis \((1 + i)^4\) et \((1 + i)^8\).
b) Déduis-en \((1 + i)^{20}\) sans développer.
Voir la correction›
élever au carré successivement : \(z^4 = (z^2)^2\), \(z^8 = (z^4)^2\).
a) \((1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = \boxed{2i}\) ; \((1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}\) ; \((1 + i)^8 = (-4)^2 = \boxed{16}\).
b) \((1 + i)^{20} = (1 + i)^{16} \times (1 + i)^4 = \left((1 + i)^8\right)^2 \times (1 + i)^4 = 16^2 \times (-4) = 256 \times (-4) = \boxed{-1\,024}\).
🔍 Vérification : autre chemin, \((1 + i)^{20} = \left((1 + i)^2\right)^{10} = (2i)^{10} = 2^{10} \times i^{10} = 1\,024 \times (-1) = -1\,024\) ✓
Développe \((1 + 2i)^4\) à l'aide de la formule du binôme, et écris le résultat sous forme algébrique.
Voir la correction›
formule du binôme avec \(a = 1\), \(b = 2i\) et la ligne \(4\) du triangle de Pascal : \(1\), \(4\), \(6\), \(4\), \(1\).
Étape 1 — Les puissances de \(2i\). \((2i)^0 = 1\), \((2i)^1 = 2i\), \((2i)^2 = -4\), \((2i)^3 = 8i^3 = -8i\), \((2i)^4 = 16\).
Étape 2 — La somme. \[(1 + 2i)^4 = 1 + 4 \times 2i + 6 \times (-4) + 4 \times (-8i) + 16 = 1 + 8i - 24 - 32i + 16\]
Étape 3 — Regrouper. Partie réelle \(1 - 24 + 16 = -7\) ; partie imaginaire \(8 - 32 = -24\) : \[\boxed{(1 + 2i)^4 = -7 - 24i}\]
🔍 Vérification : \((1 + 2i)^2 = -3 + 4i\) (exercice 5), et \((-3 + 4i)^2 = 9 - 24i + 16i^2 = -7 - 24i\) ✓
a) Calcule \((1 + i)^6\) et \((1 - i)^6\).
b) Sans calcul, explique pourquoi \((1 + i)^n + (1 - i)^n\) est réel pour tout entier naturel \(n\).
Voir la correction›
\((1 + i)^6 = \left((1 + i)^2\right)^3\) ; puis utiliser le conjugué.
a) \((1 + i)^6 = (2i)^3 = 8i^3 = \boxed{-8i}\) ; \((1 - i)^2 = -2i\), donc \((1 - i)^6 = (-2i)^3 = -8i^3 = \boxed{8i}\).
b) \(1 - i = \overline{1 + i}\), donc \((1 - i)^n = \overline{1 + i}^{\,n} = \overline{(1 + i)^n}\). En posant \(u = (1 + i)^n\), la somme vaut \(u + \overline{u} = 2\operatorname{Re}(u)\) : c'est un réel.
🔍 Vérification : pour \(n = 6\), \(-8i + 8i = 0\), qui est bien réel ✓
Un complexe plus son conjugué donne toujours un réel.
Pour tout complexe \(z \ne -1\), on pose \(Z = \dfrac{z - 1}{z + 1}\).
a) Calcule \(Z\) pour \(z = 2i\), sous forme algébrique.
b) Calcule \(Z\) pour \(z = 0\) et pour \(z = 3\). Que remarques-tu quand \(z\) est réel ?
Voir la correction›
on remplace \(z\), puis on écrit le quotient sous forme algébrique.
a) Pour \(z = 2i\) : \(Z = \dfrac{-1 + 2i}{1 + 2i} = \dfrac{(-1 + 2i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \dfrac{-1 + 2i + 2i - 4i^2}{5} = \dfrac{3 + 4i}{5} = \boxed{\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i}\)
b) Pour \(z = 0\) : \(Z = \dfrac{-1}{1} = \boxed{-1}\). Pour \(z = 3\) : \(Z = \dfrac{2}{4} = \boxed{\dfrac{1}{2}}\).
Quand \(z\) est réel (et différent de \(-1\)), \(z - 1\) et \(z + 1\) sont réels : \(Z\) est réel.
🔍 Vérification : a) \((1 + 2i)\left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\right) = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i + \dfrac{6}{5}i + \dfrac{8}{5}i^2 = -1 + 2i\) ✓
Pour tout complexe \(z = x + iy\) (\(x\), \(y\) réels), on pose \(Z = z^2 + \overline{z}\).
a) Exprime \(\operatorname{Re}(Z)\) et \(\operatorname{Im}(Z)\) en fonction de \(x\) et \(y\).
b) À quelle condition sur \(x\) et \(y\) le nombre \(Z\) est-il réel ?
c) Vérifie avec \(z = \dfrac{1}{2} + 3i\).
Voir la correction›
écrire \(Z\) sous forme algébrique en fonction de \(x\) et \(y\).
a) \(z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy\) et \(\overline{z} = x - iy\), donc \[Z = (x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y), \qquad \boxed{\operatorname{Re}(Z) = x^2 - y^2 + x, \quad \operatorname{Im}(Z) = 2xy - y}\]
b) \(Z\) réel \(\iff 2xy - y = 0 \iff y(2x - 1) = 0 \iff \boxed{y = 0 \text{ ou } x = \dfrac{1}{2}}\) (produit nul).
c) Pour \(z = \dfrac{1}{2} + 3i\), on a \(x = \dfrac{1}{2}\) : \(Z\) doit être réel. En effet, \(\operatorname{Im}(Z) = 2 \times \dfrac{1}{2} \times 3 - 3 = 0\) et \(\operatorname{Re}(Z) = \dfrac{1}{4} - 9 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{33}{4}\) : \(Z = -\dfrac{33}{4}\) ✓.
🔍 Vérification : avec \(z = 1 + 2i\) (\(y \ne 0\), \(x \ne \dfrac{1}{2}\)), on trouve \(Z = -2 + 2i\), qui n'est pas réel ✓
Dans le plan (chapitre suivant), les points tels que \(Z\) est réel forment l'axe des abscisses et la droite d'équation \(x = \dfrac{1}{2}\).
Trouve les complexes \(z_1\) et \(z_2\) tels que \(z_1 + z_2 = 3 + i\) et \(z_1 - z_2 = 1 + 3i\).
Voir la correction›
comme un système de réels, par addition et soustraction des équations.
En additionnant : \(2z_1 = (3 + i) + (1 + 3i) = 4 + 4i\), donc \(\boxed{z_1 = 2 + 2i}\).
En soustrayant : \(2z_2 = (3 + i) - (1 + 3i) = 2 - 2i\), donc \(\boxed{z_2 = 1 - i}\).
🔍 Vérification : \(z_1 + z_2 = 3 + i\) ✓ et \(z_1 - z_2 = 1 + 3i\) ✓
a) On cherche les complexes \(z = a + ib\) (\(a\), \(b\) réels) tels que \(z^2 = 3 + 4i\). Montre que \(a^2 - b^2 = 3\) et \(ab = 2\).
b) Vérifie que \(2 + i\) et \(-2 - i\) sont solutions.
c) Trouve de même deux complexes dont le carré vaut \(-5 + 12i\).
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\(z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi\), puis identification.
a) \(z^2 = 3 + 4i \iff (a^2 - b^2) + 2abi = 3 + 4i \iff a^2 - b^2 = 3\) et \(2ab = 4\), c'est-à-dire \(\boxed{a^2 - b^2 = 3 \text{ et } ab = 2}\).
b) Pour \(2 + i\) : \(a^2 - b^2 = 4 - 1 = 3\) ✓ et \(ab = 2\) ✓. Pour \(-2 - i\) : \(a^2 - b^2 = 4 - 1 = 3\) ✓ et \(ab = (-2)(-1) = 2\) ✓. Les deux sont solutions.
c) On cherche \(a^2 - b^2 = -5\) et \(ab = 6\). Avec des entiers, \(a = 2\) et \(b = 3\) conviennent : \(4 - 9 = -5\) ✓ et \(2 \times 3 = 6\) ✓. Donc \(\boxed{2 + 3i \text{ et } -2 - 3i}\) ont pour carré \(-5 + 12i\).
🔍 Vérification : \((2 + 3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = -5 + 12i\) ✓
Si \(z^2 = w\), alors \((-z)^2 = w\) aussi : les solutions vont par paires opposées.
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(S_n = 1 + i + i^2 + \cdots + i^n\).
a) Calcule \(S_0\), \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\).
b) Montre que, pour tout \(n\), \(S_{n+4} = S_n\).
c) Calcule \(S_{2026}\).
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calculer les premières sommes, puis utiliser \(i^4 = 1\) pour voir la répétition.
a) \(S_0 = 1\), \(S_1 = 1 + i\), \(S_2 = 1 + i - 1 = i\), \(S_3 = i + i^3 = i - i = 0\).
\[\boxed{S_0 = 1,\ S_1 = 1 + i,\ S_2 = i,\ S_3 = 0}\]
b) \(S_{n+4} = S_n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} + i^{n+4} = S_n + i^{n+1}(1 + i + i^2 + i^3) = S_n + i^{n+1} \times S_3 = S_n\), car \(S_3 = 0\).
c) \(2026 = 4 \times 506 + 2\), donc, en appliquant \(506\) fois le b), \(S_{2026} = S_2 = \boxed{i}\).
🔍 Vérification : \(S_4 = S_3 + i^4 = 1 = S_0\) ✓
On pose \(j = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\).
a) Calcule \(j^2\) et montre que \(j^2 = \overline{j}\).
b) Calcule \(j^3\), puis \(1 + j + j^2\).
c) Déduis-en \(\dfrac{1}{j}\) sous forme algébrique, sans calcul supplémentaire.
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calculs avec \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}\), puis utilisation de \(j^3 = 1\).
a) \(j^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + 2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}i + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\).
C'est exactement \(\overline{j}\) : \(\boxed{j^2 = \overline{j}}\).
b) \(j^3 = j \times j^2 = j\,\overline{j} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \boxed{1}\).
\(1 + j + j^2 = 1 + \left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) + \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \boxed{0}\).
c) \(j \times j^2 = j^3 = 1\), donc \(\dfrac{1}{j} = j^2 = \boxed{-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i}\).
🔍 Vérification : \(j \times \overline{j} = 1\), et \(\overline{j} = j^2\), donc l'inverse de \(j\) est bien \(\overline{j}\) ✓
\(j\) est une solution complexe de \(z^3 = 1\), autre que \(1\). On le retrouvera avec les racines de l'unité.
On pose \(z_n = (1 + i)^n\) pour tout entier naturel \(n\).
a) Calcule \(z_0\) à \(z_8\).
b) Montre que \(z_{n+4} = -4z_n\) pour tout \(n\).
c) Pour quelles valeurs de \(n\) le nombre \(z_n\) est-il réel ?
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multiplier de proche en proche par \(1 + i\), puis utiliser \((1 + i)^4 = -4\).
a) Chaque terme est le précédent multiplié par \(1 + i\) :
| \(n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(z_n\) | \(1\) | \(1 + i\) | \(2i\) | \(-2 + 2i\) | \(-4\) | \(-4 - 4i\) | \(-8i\) | \(8 - 8i\) | \(16\) |
b) \(z_{n+4} = (1 + i)^{n+4} = (1 + i)^n \times (1 + i)^4 = z_n \times (-4) = \boxed{-4z_n}\).
c) \(z_n\) est réel pour \(n = 0\), \(4\), \(8\) (valeurs \(1\), \(-4\), \(16\)) ; il ne l'est pas pour \(n = 1\), \(2\), \(3\). D'après le b), \(z_{n+4}\) est réel exactement quand \(z_n\) l'est (on multiplie par le réel non nul \(-4\)). Donc \(z_n\) est réel si, et seulement si, \(\boxed{n \text{ est un multiple de } 4}\).
🔍 Vérification : \(z_8 = -4z_4 = -4 \times (-4) = 16\) ✓
Trouve tous les complexes \(z\) tels que \(z\,\overline{z} = 25\) et \(z + \overline{z} = 6\).
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avec \(z = a + ib\), on a \(z + \overline{z} = 2a\) et \(z\,\overline{z} = a^2 + b^2\).
Étape 1 — La partie réelle. \(z + \overline{z} = 2a = 6\), donc \(a = 3\).
Étape 2 — La partie imaginaire. \(z\,\overline{z} = a^2 + b^2 = 25\), donc \(9 + b^2 = 25\), \(b^2 = 16\) et \(b = 4\) ou \(b = -4\).
\[\boxed{z = 3 + 4i \quad \text{ou} \quad z = 3 - 4i}\]
🔍 Vérification : \((3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25\) ✓ et \((3 + 4i) + (3 - 4i) = 6\) ✓
a) Calcule \((1 + i)^2\), puis montre que \((1 + i)^{10} = 32i\).
b) Développe \((1 + i)^{10}\) avec la formule du binôme et sépare partie réelle et partie imaginaire.
c) Déduis-en la valeur de \(\dbinom{10}{0} - \dbinom{10}{2} + \dbinom{10}{4} - \dbinom{10}{6} + \dbinom{10}{8} - \dbinom{10}{10}\) et de \(\dbinom{10}{1} - \dbinom{10}{3} + \dbinom{10}{5} - \dbinom{10}{7} + \dbinom{10}{9}\).
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calculer \((1 + i)^{10}\) de deux façons et identifier parties réelles et imaginaires.
a) \((1 + i)^2 = 2i\), donc \((1 + i)^{10} = (2i)^5 = 32\,i^5 = \boxed{32i}\) (car \(i^5 = i\)).
b) Par le binôme, \((1 + i)^{10} = \displaystyle\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} i^k\). Les termes de rang \(k\) pair sont réels (\(i^0 = 1\), \(i^2 = -1\), \(i^4 = 1\)…), ceux de rang impair sont imaginaires (\(i^1 = i\), \(i^3 = -i\)…) : \[\operatorname{Re} = \binom{10}{0} - \binom{10}{2} + \binom{10}{4} - \binom{10}{6} + \binom{10}{8} - \binom{10}{10}, \qquad \operatorname{Im} = \binom{10}{1} - \binom{10}{3} + \binom{10}{5} - \binom{10}{7} + \binom{10}{9}\]
c) En identifiant avec \(32i = 0 + 32i\) : \[\boxed{\binom{10}{0} - \binom{10}{2} + \cdots - \binom{10}{10} = 0 \quad \text{et} \quad \binom{10}{1} - \binom{10}{3} + \cdots + \binom{10}{9} = 32}\]
🔍 Vérification : \(1 - 45 + 210 - 210 + 45 - 1 = 0\) ✓ et \(10 - 120 + 252 - 120 + 10 = 32\) ✓
Soit \(a\) un réel et \(z = \dfrac{1 + ia}{1 - ia}\).
a) Justifie que \(z\) est bien défini, puis montre que \(\overline{z} = \dfrac{1}{z}\).
b) Déduis-en que \(z\,\overline{z} = 1\).
c) Écris \(z\) sous forme algébrique en fonction de \(a\), et vérifie le résultat pour \(a = 2\).
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utiliser les règles du conjugué plutôt que de tout développer.
a) \(1 - ia = 0\) demanderait \(1 = 0\) (partie réelle) : impossible, donc \(1 - ia \ne 0\) et \(z\) est défini.
Comme \(a\) est réel, \(\overline{1 + ia} = 1 - ia\) et \(\overline{1 - ia} = 1 + ia\). Le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués (produit par l'inverse), donc \[\overline{z} = \frac{1 - ia}{1 + ia} = \frac{1}{\dfrac{1 + ia}{1 - ia}} = \boxed{\frac{1}{z}}\]
b) \(z\,\overline{z} = z \times \dfrac{1}{z} = \boxed{1}\).
c) \(z = \dfrac{(1 + ia)(1 + ia)}{(1 - ia)(1 + ia)} = \dfrac{1 + 2ia + i^2a^2}{1 + a^2} = \boxed{\dfrac{1 - a^2}{1 + a^2} + \dfrac{2a}{1 + a^2}\,i}\).
Pour \(a = 2\) : \(z = \dfrac{1 - 4}{5} + \dfrac{4}{5}i = -\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\), et \(z\,\overline{z} = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1\) ✓.
🔍 Vérification : pour \(a = 0\), \(z = 1\) ✓ ; pour \(a = 1\), \(z = \dfrac{0}{2} + \dfrac{2}{2}i = i\), et \(\dfrac{1 + i}{1 - i} = i\) (exercice 17) ✓
Pour aller plus loin
Contenu facultatif, non exigible.
On peut vérifier que \(\left(\dfrac{1 - a^2}{1 + a^2}\right)^2 + \left(\dfrac{2a}{1 + a^2}\right)^2 = 1\). Au chapitre suivant, on dira que \(z\) est de module \(1\).
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