Fonctions exponentielles
Cours
Une somme placée à \(4\,\%\) par an : combien vaut-elle au bout de \(2\) ans et \(6\) mois ? Un médicament dont la quantité est divisée par deux toutes les \(4\) heures : combien en reste-t-il au bout de \(10\) heures ? Les prix ont augmenté de \(12\,\%\) en trois ans : de combien en moyenne par an ? Avec les suites géométriques, on savait répondre par étapes entières. Les fonctions exponentielles permettent de répondre à tout instant. Avec ce chapitre, tu sauras :
- calculer \(a^x\) pour un nombre \(x\) positif quelconque, et utiliser ses propriétés ;
- connaître le sens de variation et l'allure de la courbe ;
- calculer un taux d'évolution moyen ;
- modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle et résoudre un problème de seuil.
1 Prolonger une suite géométrique
Une suite géométrique donne des valeurs aux étapes \(0\), \(1\), \(2\)… On veut aussi des valeurs entre ces étapes.
\(1\,000\) bactéries sont multipliées par \(1{,}2\) chaque heure : \(1\,000 \times 1{,}2^n\) au bout de \(n\) heures. Au bout d'une demi-heure, on s'attend à un nombre entre \(1\,000\) et \(1\,200\). La calculatrice donne \(1{,}2^{0{,}5} \approx 1{,}0954\), soit environ \(1\,095\) bactéries. On a « complété » le nuage de points par une courbe continue.
Soit \(a\) un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base \(a\) est la fonction \(f\) définie pour \(x \geqslant 0\) par \(f(x) = a^x\).
En mots : pour un entier \(n\), \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs \(a\) ; pour un \(x\) quelconque, \(a^x\) prolonge ces valeurs « sans à-coup ». La calculatrice calcule \(a^x\) avec la touche ^.
On place \(1\,000\) € à \(4\,\%\) par an (intérêts composés). Quelle somme a-t-on au bout de \(2\) ans et \(6\) mois ?
Étape 1 — Modéliser. Au bout de \(x\) années : \(C(x) = 1\,000 \times 1{,}04^x\).
Étape 2 — Calculer. \(2\) ans et \(6\) mois, c'est \(x = 2{,}5\) : \(C(2{,}5) = 1\,000 \times 1{,}04^{2{,}5} \approx \boxed{1\,103{,}02 \text{ €}}\).
🔍 Vérification : la valeur est entre \(C(2) = 1\,081{,}60\) € et \(C(3) \approx 1\,124{,}86\) € ✓.
- ❌ Calculer \(1{,}04 \times 2{,}5\) au lieu de \(1{,}04^{2{,}5}\). ✅ \(x\) est un exposant : on utilise la touche
^. - ❌ Taper
1000*1.04^2.5dans le mauvais ordre de priorité. ✅ La puissance se calcule avant la multiplication, ce que fait la calculatrice.
Une population de \(500\) individus augmente de \(10\,\%\) par an. Combien sont-ils au bout de \(2{,}5\) ans ?
Voir la réponseMasquer la réponse
\(500 \times 1{,}1^{2{,}5} \approx 634{,}5\), soit environ \(635\) individus.
\(f(x) = a^x\) (\(a > 0\), \(x \geqslant 0\)) prolonge la suite géométrique \(a^n\) ; on calcule \(a^x\) à la calculatrice.
2 Propriétés algébriques
On admet que les règles de calcul des puissances entières restent vraies pour tous les exposants positifs.
(admises) : pour tous réels \(a, b > 0\) et \(x, y \geqslant 0\), \[a^{x + y} = a^x \times a^y, \qquad a^{x - y} = \frac{a^x}{a^y} \ (x \geqslant y), \qquad \left(a^x\right)^y = a^{xy}, \qquad (ab)^x = a^x \times b^x.\] De plus, \(a^0 = 1\) et \(a^1 = a\). En mots : on additionne les exposants quand on multiplie des puissances de même base ; on les multiplie quand on élève une puissance à une puissance.
Étape 1 — Un produit. \(3^{0{,}5} \times 3^{1{,}5} = 3^{0{,}5 + 1{,}5} = 3^2 = \boxed{9}\).
Étape 2 — Une puissance de puissance. \(\left(2^{0{,}5}\right)^4 = 2^{0{,}5 \times 4} = 2^2 = \boxed{4}\).
🔍 Vérification : à la calculatrice, \(3^{0{,}5} \approx 1{,}732\) et \(3^{1{,}5} \approx 5{,}196\), dont le produit est bien \(9\) ✓.
- ❌ \(a^x \times a^y = a^{x \times y}\). ✅ On additionne les exposants : \(a^{x + y}\).
- ❌ \(a^x + a^y = a^{x + y}\). ✅ Il n'y a pas de règle pour une somme de puissances.
Simplifie \(2^{1{,}3} \times 2^{0{,}7}\) et \(\dfrac{7^{3{,}5}}{7^{1{,}5}}\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(2^{1{,}3 + 0{,}7} = 2^2 = 4\) et \(7^{3{,}5 - 1{,}5} = 7^2 = 49\).
\(a^{x + y} = a^x a^y\), \(a^{x - y} = \dfrac{a^x}{a^y}\), \((a^x)^y = a^{xy}\), \(a^0 = 1\).
3 Variations et courbe
Comme pour les suites géométriques, tout dépend de la position de \(a\) par rapport à \(1\).
(admise) : sur \([0 \,;\, +\infty[\), la fonction \(x \mapsto a^x\) est
- croissante si \(a > 1\) ;
- décroissante si \(0 < a < 1\) ;
- constante (égale à \(1\)) si \(a = 1\). Sa courbe passe toujours par le point \((0 \,;\, 1)\), car \(a^0 = 1\), et par le point \((1 \,;\, a)\).
Si \(a > 1\), la courbe monte de plus en plus vite (croissance exponentielle) ; si \(0 < a < 1\), elle descend de plus en plus lentement et se rapproche de l'axe des abscisses sans l'atteindre (décroissance exponentielle). Compare avec le traceur ci-dessous.
Survole la courbe pour lire ses coordonnées. Clique ou touche le graphique pour zoomer et le déplacer.
Étape 1 — \(f(x) = 1{,}5^x\). \(a = 1{,}5 > 1\) : \(f\) est croissante. \(f(0) = 1\), \(f(2) = 2{,}25\), \(f(4) \approx 5{,}06\).
Étape 2 — \(g(x) = 0{,}6^x\). \(a = 0{,}6 < 1\) : \(g\) est décroissante. \(g(0) = 1\), \(g(2) = 0{,}36\), \(g(4) \approx 0{,}13\).
🔍 Vérification : les deux courbes partent du même point \((0 \,;\, 1)\) ✓.
- ❌ « \(0{,}6^x\) devient négatif pour \(x\) grand. » ✅ \(a^x\) est toujours strictement positif.
- ❌ Confondre \(1{,}5^x\) (exponentielle) et \(1{,}5x\) (linéaire). ✅ Dans l'exponentielle, la variable est en exposant.
Donne le sens de variation de \(x \mapsto 1{,}03^x\), de \(x \mapsto 0{,}95^x\) et de \(x \mapsto 1^x\) sur \([0 \,;\, +\infty[\).
Voir la réponseMasquer la réponse
Croissante (\(1{,}03 > 1\)), décroissante (\(0 < 0{,}95 < 1\)), constante (égale à \(1\)).
\(a > 1\) croissante, \(0 < a < 1\) décroissante ; la courbe passe par \((0 \,;\, 1)\) et \((1 \,;\, a)\) ; \(a^x > 0\).
4 Racine n-ième et taux d'évolution moyen
L'exposant \(\dfrac{1}{n}\) permet de « revenir en arrière » d'une puissance \(n\) : c'est l'outil du taux moyen.
Pour \(a > 0\) et \(n\) entier non nul, \(a^{\frac{1}{n}}\) est le nombre positif dont la puissance \(n\) vaut \(a\) : \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a\). On l'appelle racine \(n\)-ième de \(a\). En particulier, \(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\).
L'idée en une phrase : on applique la règle \((a^x)^y = a^{xy}\).
Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration
Étape 1 — Calculer. \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{\frac{1}{n} \times n} = a^1 = a\) ✓.
Étape 2 — Exemple. \(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 8\) et \(2^3 = 8\), donc \(8^{\frac{1}{3}} = 2\).
Si une grandeur est multipliée par \(CM\) au total après \(n\) évolutions successives, le coefficient multiplicateur moyen est \(CM^{\frac{1}{n}}\), et le taux moyen est \[t_m = CM^{\frac{1}{n}} - 1.\] En mots : c'est le taux qui, appliqué \(n\) fois de suite, donne la même évolution globale.
Étape 1 — \(+44\,\%\) en \(2\) ans. \(CM = 1{,}44\) ; \(1{,}44^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\) : le taux moyen est \(\boxed{+20\,\%}\) par an.
Étape 2 — Doublement en \(5\) ans. \(CM = 2\) ; \(2^{\frac{1}{5}} \approx 1{,}1487\) : taux moyen d'environ \(\boxed{+14{,}87\,\%}\) par an.
🔍 Vérification : \(1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44\) ✓ et \(1{,}1487^5 \approx 2\) ✓.
- ❌ Taux moyen de \(+44\,\%\) en \(2\) ans : \(\dfrac{44}{2} = 22\,\%\). ✅ On ne divise pas, on prend la racine : \(20\,\%\).
- ❌ Calculer \(CM^{\frac{1}{n}}\) en tapant
1.44^1/2. ✅ Il faut des parenthèses :1.44^(1/2).
Une quantité est multipliée par \(2{,}25\) en \(2\) ans. Quel est le taux moyen annuel ? Calcule aussi \(125^{\frac{1}{3}}\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(2{,}25^{\frac{1}{2}} = 1{,}5\), soit \(+50\,\%\) par an en moyenne. Et \(125^{\frac{1}{3}} = 5\), car \(5^3 = 125\).
\(a^{\frac{1}{n}}\) est la racine \(n\)-ième de \(a\) ; taux moyen sur \(n\) périodes : \(t_m = CM^{\frac{1}{n}} - 1\).
5 Modéliser et résoudre un seuil
Une grandeur qui évolue d'un pourcentage constant par unité de temps se modélise par \(f(t) = k \times a^t\).
Une quantité divisée par \(2\) toutes les durées \(T\) se modélise par \(Q(t) = Q_0 \times 0{,}5^{\frac{t}{T}}\). Par exemple, avec une demi-vie de \(8\) jours, au bout de \(4\) jours (une demi-demi-vie), il reste \(0{,}5^{0{,}5} \approx 0{,}707\), soit environ \(70{,}7\,\%\) de la quantité.
On ne sait pas résoudre directement \(a^x = k\) cette année. On procède par essais (calculatrice, tableur ou programme) : on encadre la solution entre deux entiers, puis entre deux dixièmes, et on conclut avec la précision demandée.
On place un capital à \(6\,\%\) par an. Au bout de combien d'années (au dixième près) a-t-il doublé ?
Étape 1 — Modéliser. Le capital est multiplié par \(1{,}06^x\) au bout de \(x\) années. On cherche \(1{,}06^x \geqslant 2\).
Étape 2 — Encadrer entre deux entiers. \(1{,}06^{11} \approx 1{,}8983 < 2\) et \(1{,}06^{12} \approx 2{,}0122 \geqslant 2\).
Étape 3 — Affiner. \(1{,}06^{11{,}8} \approx 1{,}9889 < 2\) et \(1{,}06^{11{,}9} \approx 2{,}0005 \geqslant 2\).
Étape 4 — Conclure. Le capital a doublé au bout d'environ \(\boxed{11{,}9 \text{ ans}}\).
🔍 Vérification : la fonction est croissante (\(1{,}06 > 1\)), donc une fois le seuil franchi, on reste au-dessus ✓.
Pour un taux de \(t\,\%\) (petit), le temps de doublement est d'environ \(\dfrac{70}{t}\) périodes (« règle de \(70\) ») : à \(6\,\%\), environ \(11{,}7\) ans ; à \(7\,\%\), environ \(10\) ans.
- ❌ Donner la première valeur essayée qui est proche du seuil sans vérifier qu'elle le franchit. ✅ On vérifie la valeur d'avant (condition fausse) et celle trouvée (condition vraie).
- ❌ Pour une demi-vie de \(8\) jours, écrire \(Q(t) = Q_0 \times 0{,}5^{8t}\). ✅ C'est \(0{,}5^{\frac{t}{8}}\) : au bout de \(t = 8\) jours, l'exposant vaut \(1\).
À partir de quelle valeur de \(x\) (au dixième près) a-t-on \(0{,}9^x < 0{,}5\) ?
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\(0{,}9^6 \approx 0{,}531\) et \(0{,}9^7 \approx 0{,}478\) : entre \(6\) et \(7\). Puis \(0{,}9^{6{,}5} \approx 0{,}504\) et \(0{,}9^{6{,}6} \approx 0{,}499\) : à partir de \(x \approx 6{,}6\).
\(f(t) = k \times a^t\) modélise une évolution d'un pourcentage constant ; demi-vie \(T\) : \(0{,}5^{\frac{t}{T}}\) ; seuil par encadrements successifs.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
On place \(1\,000\) € à \(4\,\%\) par an. Quelle expression donne le capital au bout de \(2\) ans et \(6\) mois ?
Le capital est \(1\,000 \times 1{,}04^x\) au bout de \(x\) années, avec ici \(x = 2{,}5\).
Combien vaut \(3^{0{,}5} \times 3^{1{,}5}\) ?
Réponse attendue : \(9\)
On additionne les exposants : \(3^{0{,}5 + 1{,}5} = 3^2 = 9\).
Vrai ou faux : pour tout \(a > 0\), \(a^0 = 1\).
La courbe de \(x \mapsto a^x\) passe toujours par le point \((0 \,;\, 1)\).
Quel est le sens de variation de \(x \mapsto 0{,}95^x\) sur \([0 \,;\, +\infty[\) ?
La base \(0{,}95\) est comprise entre \(0\) et \(1\) : la fonction décroît, mais reste positive.
Combien vaut \(27^{\frac{1}{3}}\) ?
Réponse attendue : \(3\)
C'est le nombre positif dont le cube vaut \(27\) : \(3^3 = 27\).
Revoir dans le cours : 4. Racine n-ième et taux d'évolution moyen
Un prix a augmenté de \(44\,\%\) en \(2\) ans. Quel est le taux d'évolution annuel moyen ?
\(1{,}44^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\) : le taux moyen est de \(20\,\%\) (on ne divise pas par \(2\)).
Revoir dans le cours : 4. Racine n-ième et taux d'évolution moyen
Une substance a une demi-vie de \(8\) jours. Quelle proportion en reste-t-il au bout de \(4\) jours ?
Quatre jours, c'est une demi-demi-vie : \(0{,}5^{0{,}5} \approx 0{,}707\).
À revoir dans le cours :
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Définition | \(f(x) = a^x\), \(a > 0\), \(x \geqslant 0\) : prolonge la suite géométrique \(a^n\) |
| Valeurs | \(a^0 = 1\), \(a^1 = a\), \(a^x > 0\) |
| Propriétés | \(a^{x + y} = a^x a^y\) ; \(a^{x - y} = \dfrac{a^x}{a^y}\) ; \((a^x)^y = a^{xy}\) ; \((ab)^x = a^x b^x\) |
| Variations | \(a > 1\) croissante ; \(0 < a < 1\) décroissante ; \(a = 1\) constante |
| Racine \(n\)-ième | \(a^{\frac{1}{n}}\), avec \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a\) ; \(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\) |
| Taux moyen | \(t_m = CM^{\frac{1}{n}} - 1\) |
| Demi-vie \(T\) | \(Q(t) = Q_0 \times 0{,}5^{\frac{t}{T}}\) |
| Seuil | encadrements successifs (calculatrice, tableur, programme) |
Pièges à éviter
- \(a^x \times a^y = a^{x + y}\) (on additionne les exposants).
- Taux moyen : racine, pas division.
- Parenthèses à la calculatrice :
2^(1/5). - \(1{,}5^x\) (exponentielle) n'est pas \(1{,}5x\) (linéaire).
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Donne une valeur arrondie au dix-millième de :
a) \(1{,}2^{0{,}5}\)
b) \(2^{1{,}5}\)
c) \(0{,}8^{2{,}5}\)
d) \(10^{0{,}3}\)
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touche ^ de la calculatrice.
a) \(\boxed{\approx 1{,}0954}\)
b) \(\boxed{\approx 2{,}8284}\)
c) \(\boxed{\approx 0{,}5724}\)
d) \(\boxed{\approx 1{,}9953}\)
🔍 Vérification : b) \(2^{1{,}5} = 2 \times 2^{0{,}5} \approx 2 \times 1{,}4142 = 2{,}8284\) ✓
Simplifie :
a) \(3^{0{,}5} \times 3^{1{,}5}\)
b) \(\dfrac{5^{2{,}4}}{5^{0{,}4}}\)
c) \(\left(2^{0{,}5}\right)^4\)
d) \(4^{0{,}5}\)
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additionner, soustraire ou multiplier les exposants.
a) \(3^{0{,}5 + 1{,}5} = 3^2 = \boxed{9}\)
b) \(5^{2{,}4 - 0{,}4} = 5^2 = \boxed{25}\)
c) \(2^{0{,}5 \times 4} = 2^2 = \boxed{4}\)
d) \(\sqrt{4} = \boxed{2}\)
🔍 Vérification : d) \(2^2 = 4\) ✓
Donne le sens de variation sur \([0 \,;\, +\infty[\) de :
a) \(x \mapsto 1{,}03^x\)
b) \(x \mapsto 0{,}95^x\)
c) \(x \mapsto 1^x\)
d) \(x \mapsto 2{,}5^x\)
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comparer la base à \(1\).
a) croissante
b) décroissante
c) constante (égale à \(1\))
d) croissante
🔍 Vérification : b) \(0{,}95^0 = 1 > 0{,}95^1 = 0{,}95\) ✓
Soit \(f(x) = a^x\) avec \(a > 0\).
a) Que vaut \(f(0)\) ? Et \(f(1)\) ?
b) La courbe de \(f\) passe par \((1 \,;\, 3)\). Que vaut \(a\) ?
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\(a^0 = 1\) et \(a^1 = a\).
a) \(f(0) = \boxed{1}\) et \(f(1) = \boxed{a}\).
b) \(f(1) = a = 3\), donc \(\boxed{a = 3}\).
🔍 Vérification : toutes les courbes \(y = a^x\) passent par \((0 \,;\, 1)\) ✓
Calcule :
a) \(16^{\frac{1}{4}}\)
b) \(27^{\frac{1}{3}}\)
c) \(1{,}21^{\frac{1}{2}}\)
d) \(32^{\frac{1}{5}}\)
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chercher le nombre positif dont la puissance \(n\) donne le nombre.
a) \(2^4 = 16\), donc \(\boxed{2}\)
b) \(3^3 = 27\), donc \(\boxed{3}\)
c) \(1{,}1^2 = 1{,}21\), donc \(\boxed{1{,}1}\)
d) \(2^5 = 32\), donc \(\boxed{2}\)
🔍 Vérification : c) \(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\) ✓
On place \(1\,000\) € à \(4\,\%\) par an. Quel est le capital au bout de \(2\) ans et \(6\) mois (au centime près) ?
Voir la correction›
\(C(x) = 1\,000 \times 1{,}04^x\) avec \(x = 2{,}5\).
\(C(2{,}5) = 1\,000 \times 1{,}04^{2{,}5} \approx \boxed{1\,103{,}02 \text{ €}}\).
🔍 Vérification : entre \(C(2) = 1\,081{,}60\) € et \(C(3) \approx 1\,124{,}86\) € ✓
Un prix a augmenté de \(21\,\%\) en \(2\) ans. Quel est le taux moyen annuel ?
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\(t_m = CM^{\frac{1}{n}} - 1\).
\(1{,}21^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\) : taux moyen \(\boxed{+10\,\%}\) par an.
🔍 Vérification : \(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\) ✓
Ce n'est pas \(\dfrac{21}{2} = 10{,}5\,\%\).
Une valeur est multipliée par \(1{,}5\) en \(4\) ans. Calcule le taux moyen annuel, arrondi au centième de pourcentage.
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racine quatrième du coefficient global.
\(1{,}5^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}1067\) : taux moyen \(\approx \boxed{+10{,}67\,\%}\) par an.
🔍 Vérification : \(1{,}1067^4 \approx 1{,}5\) ✓
La quantité d'une substance est divisée par \(2\) toutes les \(6\) heures. Quelle proportion en reste-t-il au bout de \(3\) heures (arrondie au dixième de pourcentage) ?
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\(3\) heures, c'est la moitié de la demi-vie : exposant \(\dfrac{3}{6} = 0{,}5\).
\(0{,}5^{0{,}5} \approx 0{,}7071\) : il reste environ \(\boxed{70{,}7\,\%}\).
🔍 Vérification : plus de la moitié reste (\(> 50\,\%\)) car on n'a pas atteint une demi-vie ✓
Soit \(f(x) = 2^x\).
a) Calcule \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\).
b) Calcule \(f(0{,}5)\) au millième. Vérifie que \(f(0{,}5)^2 = f(1)\).
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puissances entières, puis calculatrice.
a) \(f(0) = 1\), \(f(1) = 2\), \(f(2) = 4\), \(f(3) = 8\).
b) \(f(0{,}5) = 2^{0{,}5} \approx \boxed{1{,}414}\), et \(\left(2^{0{,}5}\right)^2 = 2^1 = 2 = f(1)\) ✓.
🔍 Vérification : \(1{,}414^2 \approx 1{,}999\) ✓
Calcule :
a) \(9^{\frac{1}{2}}\)
b) \(8^{\frac{1}{3}}\)
c) \(2^{1{,}5} \times 2^{1{,}5}\)
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racines connues et règle du produit.
a) \(\boxed{3}\)
b) \(\boxed{2}\)
c) \(2^{1{,}5 + 1{,}5} = 2^3 = \boxed{8}\)
🔍 Vérification : b) \(2^3 = 8\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
On place \(5\,000\) € à \(2\,\%\) par an (intérêts composés). Quel est le capital au bout de \(3\) ans et \(6\) mois ?
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\(5\,000 \times 1{,}02^x\) avec \(x = 3{,}5\).
\(5\,000 \times 1{,}02^{3{,}5} \approx \boxed{5\,358{,}84 \text{ €}}\).
🔍 Vérification : entre \(5\,000 \times 1{,}02^3 \approx 5\,306{,}04\) € et \(5\,000 \times 1{,}02^4 \approx 5\,412{,}16\) € ✓
Le nombre de bactéries d'une culture est multiplié par \(3\) chaque heure. Au départ, il y en a \(1\,000\).
a) Exprime le nombre de bactéries au bout de \(t\) heures.
b) Combien y en a-t-il au bout de \(20\) minutes ?
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\(N(t) = 1\,000 \times 3^t\) ; \(20\) minutes \(= \dfrac{1}{3}\) heure.
a) \(\boxed{N(t) = 1\,000 \times 3^t}\)
b) \(N\left(\dfrac{1}{3}\right) = 1\,000 \times 3^{\frac{1}{3}} \approx 1\,000 \times 1{,}4422 \approx \boxed{1\,442 \text{ bactéries}}\).
🔍 Vérification : \(1{,}4422^3 \approx 3\) : en trois tranches de \(20\) minutes, on multiplie bien par \(3\) ✓
Le chiffre d'affaires d'une entreprise est passé de \(200\,000\) € à \(260\,000\) € en \(5\) ans. Calcule le taux de croissance annuel moyen, arrondi au centième de pourcentage.
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\(CM = \dfrac{260\,000}{200\,000} = 1{,}3\), puis racine cinquième.
\(1{,}3^{\frac{1}{5}} - 1 \approx 0{,}0539\) : environ \(\boxed{+5{,}39\,\%}\) par an.
🔍 Vérification : \(1{,}0539^5 \approx 1{,}30\) ✓
Les prix ont augmenté de \(2\,\%\), puis de \(6\,\%\), puis de \(4\,\%\) en trois années.
a) Calcule le coefficient multiplicateur global.
b) Calcule le taux d'inflation annuel moyen, au centième de pourcentage.
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produit des coefficients, puis racine cubique.
a) \(1{,}02 \times 1{,}06 \times 1{,}04 = \boxed{1{,}124448}\).
b) \(1{,}124448^{\frac{1}{3}} - 1 \approx 0{,}0399\) : environ \(\boxed{+3{,}99\,\%}\) par an.
🔍 Vérification : la moyenne des trois taux, \(4\,\%\), est très proche ; le taux moyen exact est légèrement inférieur ✓
Le carbone 14 a une demi-vie de \(5\,730\) ans. Quelle proportion d'un échantillon reste-t-il au bout de \(2\,000\) ans (au dixième de pourcentage) ?
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\(0{,}5^{\frac{t}{T}}\) avec \(t = 2\,000\) et \(T = 5\,730\).
\(0{,}5^{\frac{2\,000}{5\,730}} \approx 0{,}7851\) : il reste environ \(\boxed{78{,}5\,\%}\).
🔍 Vérification : \(2\,000\) ans est bien moins qu'une demi-vie, il reste plus de \(50\,\%\) ✓
La quantité d'un médicament dans le sang est divisée par \(2\) toutes les \(4\) heures. On injecte \(100\) mg.
a) Montre que la quantité au bout de \(t\) heures est \(Q(t) = 100 \times 0{,}5^{\frac{t}{4}}\).
b) Calcule \(Q(10)\) au centième.
c) Par quel nombre la quantité est-elle multipliée chaque heure ?
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une demi-vie de \(4\) heures donne l'exposant \(\dfrac{t}{4}\).
a) Au bout de \(4\) heures, l'exposant vaut \(1\) et la quantité est \(100 \times 0{,}5 = 50\) ; au bout de \(8\) heures, \(25\)… : c'est bien \(Q(t) = 100 \times 0{,}5^{\frac{t}{4}}\).
b) \(Q(10) = 100 \times 0{,}5^{2{,}5} \approx \boxed{17{,}68 \text{ mg}}\).
c) \(Q(t) = 100 \times \left(0{,}5^{\frac{1}{4}}\right)^t\) : on multiplie par \(0{,}5^{\frac{1}{4}} \approx \boxed{0{,}8409}\) chaque heure (baisse d'environ \(15{,}9\,\%\) par heure).
🔍 Vérification : \(0{,}8409^4 \approx 0{,}5\) ✓
Une population augmente de \(5\,\%\) par an. Au bout de combien d'années (au dixième près) a-t-elle doublé ? Compare avec la règle de \(70\).
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encadrements successifs de \(1{,}05^x \geqslant 2\).
\(1{,}05^{14} \approx 1{,}9799 < 2\) et \(1{,}05^{15} \approx 2{,}0789 \geqslant 2\) ; puis \(1{,}05^{14{,}2} \approx 1{,}9993 < 2\) et \(1{,}05^{14{,}3} \approx 2{,}0091 \geqslant 2\).
La population a doublé au bout d'environ \(\boxed{14{,}3 \text{ ans}}\). La règle de \(70\) donne \(\dfrac{70}{5} = 14\) ans : très proche.
🔍 Vérification : la fonction est croissante, le seuil reste franchi ensuite ✓
Soit \(g(x) = 0{,}8^x\). À partir de quelle valeur de \(x\) (au dixième près) a-t-on \(g(x) < 0{,}5\) ?
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encadrements de \(0{,}8^x < 0{,}5\).
\(0{,}8^3 = 0{,}512 \geqslant 0{,}5\) et \(0{,}8^{3{,}1} \approx 0{,}5007 \geqslant 0{,}5\), puis \(0{,}8^{3{,}2} \approx 0{,}4897 < 0{,}5\).
\(g(x) < 0{,}5\) à partir de \(\boxed{x \approx 3{,}2}\).
🔍 Vérification : \(g\) est décroissante (\(0{,}8 < 1\)), elle reste sous \(0{,}5\) ensuite ✓
a) Calcule \(2^{0{,}5}\) et \(3^{0{,}5}\) au millième.
b) Laquelle des deux courbes, \(y = 2^x\) ou \(y = 3^x\), est au-dessus de l'autre pour \(x > 0\) ? Justifie avec une propriété.
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calculer, puis utiliser \((ab)^x = a^x b^x\).
a) \(2^{0{,}5} \approx \boxed{1{,}414}\) et \(3^{0{,}5} \approx \boxed{1{,}732}\).
b) \(3^x = (2 \times 1{,}5)^x = 2^x \times 1{,}5^x\). Pour \(x > 0\), \(1{,}5^x > 1\) (fonction croissante, qui vaut \(1\) en \(0\)), donc \(3^x > 2^x\) : la courbe de \(\boxed{3^x}\) est au-dessus.
🔍 Vérification : en \(x = 2\) : \(9 > 4\) ✓
Un capital est placé à \(7\,\%\) par an.
a) Calcule \(1{,}07^{10}\) et \(1{,}07^{20}\) au millième.
b) Par combien environ est-il multiplié en \(10\) ans ? en \(20\) ans ?
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calculatrice, puis lecture en ordre de grandeur.
a) \(1{,}07^{10} \approx \boxed{1{,}967}\) et \(1{,}07^{20} \approx \boxed{3{,}870}\).
b) Environ par \(2\) en \(10\) ans, et par \(4\) en \(20\) ans (deux doublements).
🔍 Vérification : \(1{,}967^2 \approx 3{,}87\) ✓ et la règle de \(70\) donne \(\dfrac{70}{7} = 10\) ans ✓
Le nombre de malades est multiplié par \(2{,}5\) tous les \(5\) jours. Par quel nombre est-il multiplié chaque jour ? Quel est le taux de croissance quotidien moyen ?
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coefficient quotidien \(= 2{,}5^{\frac{1}{5}}\).
\(2{,}5^{\frac{1}{5}} \approx \boxed{1{,}2011}\) : environ \(\boxed{+20{,}1\,\%}\) de malades par jour.
🔍 Vérification : \(1{,}2011^5 \approx 2{,}5\) ✓
Le nombre de personnes qui connaissent une rumeur est modélisé par \(N(t) = 3^t\), où \(t\) est en jours. Combien de personnes la connaissent au bout d'un jour et demi ?
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calculer \(3^{1{,}5}\).
\(N(1{,}5) = 3^{1{,}5} \approx 5{,}196\) : environ \(\boxed{5 \text{ personnes}}\).
🔍 Vérification : entre \(N(1) = 3\) et \(N(2) = 9\) ✓
Un ordinateur acheté \(1\,000\) € perd \(30\,\%\) de sa valeur chaque année. Quelle est sa valeur au bout de \(18\) mois ?
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\(1\,000 \times 0{,}7^x\) avec \(x = 1{,}5\).
\(1\,000 \times 0{,}7^{1{,}5} \approx \boxed{585{,}66 \text{ €}}\).
🔍 Vérification : entre \(700\) € (au bout d'un an) et \(490\) € (au bout de deux ans) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Un placement rapporte \(6\,\%\) par an. Quel taux mensuel, appliqué \(12\) fois, donne le même résultat ? (Arrondir au millième de pourcentage.)
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coefficient mensuel \(= 1{,}06^{\frac{1}{12}}\).
\(1{,}06^{\frac{1}{12}} - 1 \approx 0{,}004868\) : environ \(\boxed{0{,}487\,\%}\) par mois.
🔍 Vérification : c'est un peu moins que \(\dfrac{6}{12} = 0{,}5\,\%\), car les intérêts mensuels rapportent eux-mêmes des intérêts ✓
Une grandeur subit \(n\) évolutions de coefficient global \(CM\). On cherche un coefficient \(c\) tel que \(c^n = CM\).
a) Montre que \(c = CM^{\frac{1}{n}}\) convient.
b) Applique avec \(CM = 1{,}331\) et \(n = 3\), sans calculatrice.
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règle \((a^x)^y = a^{xy}\).
a) \(\left(CM^{\frac{1}{n}}\right)^n = CM^{\frac{1}{n} \times n} = CM^1 = CM\) ✓ : appliquer \(n\) fois le coefficient \(c\) redonne l'évolution globale.
b) \(1{,}331 = 1{,}1^3\) (car \(1{,}1^2 = 1{,}21\) et \(1{,}21 \times 1{,}1 = 1{,}331\)), donc \(1{,}331^{\frac{1}{3}} = 1{,}1\) : taux moyen \(\boxed{+10\,\%}\).
🔍 Vérification : \(1{,}1^3 = 1{,}331\) ✓
Offre A : \(3\,\%\) par an. Offre B : \(0{,}25\,\%\) par mois. Laquelle est la plus intéressante sur un an ? Justifie par un calcul.
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comparer les coefficients annuels.
A : \(1{,}03\). B : \(1{,}0025^{12} \approx 1{,}030416\), soit \(+3{,}04\,\%\) par an. B est (légèrement) plus intéressante.
🔍 Vérification : \(0{,}25\,\% \times 12 = 3\,\%\), mais la capitalisation mensuelle ajoute un petit supplément ✓
Dans un fossile, il reste \(60\,\%\) du carbone 14 initial. La demi-vie est de \(5\,730\) ans. On cherche l'âge \(t\) tel que \(0{,}5^{\frac{t}{5\,730}} = 0{,}6\).
a) Calcule \(0{,}5^{\frac{t}{5\,730}}\) pour \(t = 4\,100\), \(4\,200\) et \(4\,300\).
b) Donne un encadrement de l'âge du fossile à \(100\) ans près.
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encadrement par essais (la fonction est décroissante).
a)
| \(t\) | \(4\,100\) | \(4\,200\) | \(4\,300\) |
|---|---|---|---|
| \(0{,}5^{\frac{t}{5\,730}}\) | \(\approx 0{,}6090\) | \(\approx 0{,}6017\) | \(\approx 0{,}5944\) |
b) \(0{,}6017 > 0{,}6 > 0{,}5944\) : l'âge est compris entre \(\boxed{4\,200 \text{ et } 4\,300 \text{ ans}}\).
🔍 Vérification : moins d'une demi-vie, puisqu'il reste plus de \(50\,\%\) ✓
En 1965, l'ingénieur Gordon Moore a constaté que le nombre de transistors d'une puce doublait environ tous les deux ans.
a) Par quel nombre ce nombre est-il multiplié chaque année ? Quel taux annuel cela représente-t-il ?
b) Par combien est-il multiplié en \(20\) ans ?
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doubler en \(2\) ans → coefficient annuel \(2^{\frac{1}{2}}\).
a) \(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx \boxed{1{,}414}\) : environ \(\boxed{+41{,}4\,\%}\) par an.
b) \(20\) ans \(= 10\) doublements : \(2^{10} = \boxed{1\,024}\), soit environ mille fois plus.
🔍 Vérification : \(1{,}414^{20} = (1{,}414^2)^{10} \approx 2^{10}\) ✓
On considère le programme Python suivant.
x = 0
while 1.08 ** x < 3:
x = round(x + 0.1, 1)
print(x)
a) Que cherche ce programme ?
b) Quel nombre affiche-t-il ? Justifie avec les valeurs de \(1{,}08^x\) de part et d'autre.
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le programme avance de \(0{,}1\) en \(0{,}1\) tant que le seuil n'est pas franchi.
a) Il cherche, au dixième près, la plus petite valeur de \(x\) (multiple de \(0{,}1\)) telle que \(1{,}08^x \geqslant 3\) : le temps au bout duquel une quantité qui augmente de \(8\,\%\) par an a triplé.
b) \(1{,}08^{14{,}2} \approx 2{,}9828 < 3\) et \(1{,}08^{14{,}3} \approx 3{,}0058 \geqslant 3\) : il affiche \(\boxed{14{,}3}\).
🔍 Vérification : la fonction est croissante (\(1{,}08 > 1\)) ✓
L'instruction round(x + 0.1, 1) évite les petites erreurs d'arrondi de l'ordinateur sur les décimaux.
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