Équations polynomiales
Cours
C'est en cherchant à résoudre des équations du troisième degré que les mathématiciens du XVIe siècle ont inventé les nombres complexes. Aujourd'hui, les racines d'un polynôme servent à étudier la stabilité d'un pont, d'un circuit électronique ou d'un système de régulation : selon que les racines sont réelles ou complexes, le système oscille ou non. Avec ce chapitre, tu sauras :
- résoudre toute équation du second degré à coefficients réels, même quand le discriminant est négatif ;
- factoriser un polynôme dont on connaît une racine ;
- résoudre une équation de degré \(3\) dont une racine est connue ;
- savoir qu'un polynôme de degré \(n\) a au plus \(n\) racines.
Dans ce chapitre, un polynôme est une fonction \(P(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0\), avec \(a_n \ne 0\) ; \(n\) est son degré. On admet que si un polynôme est nul pour tout \(z\), tous ses coefficients sont nuls. Une racine de \(P\) est un complexe \(z_0\) tel que \(P(z_0) = 0\).
1 L'équation z² = a, avec a réel
En première, l'équation \(x^2 = -9\) n'avait pas de solution. Dans \(\mathbb{C}\), elle en a deux.
\((3i)^2 = 9i^2 = -9\) et \((-3i)^2 = -9\) aussi. Un réel négatif a deux « racines carrées » imaginaires pures.
Soit \(a\) un réel.
- si \(a > 0\), l'équation \(z^2 = a\) a deux solutions réelles : \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\) ;
- si \(a = 0\), une seule solution : \(0\) ;
- si \(a < 0\), deux solutions imaginaires pures : \(i\sqrt{-a}\) et \(-i\sqrt{-a}\).
L'idée en une phrase : on factorise avec \(a^2 - b^2\), en écrivant \(-a = \left(\sqrt{-a}\right)^2\).
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Étape 1 — Si \(a < 0\). \(z^2 - a = z^2 + \left(\sqrt{-a}\right)^2 = z^2 - \left(i\sqrt{-a}\right)^2\), car \(i^2 = -1\).
Étape 2 — Factoriser. \(z^2 - \left(i\sqrt{-a}\right)^2 = \left(z - i\sqrt{-a}\right)\left(z + i\sqrt{-a}\right)\), nul si, et seulement si, \(z = i\sqrt{-a}\) ou \(z = -i\sqrt{-a}\) (produit nul, valable dans \(\mathbb{C}\)) ✓.
Étape 1 — Le signe. \(-4 < 0\) : les solutions sont imaginaires pures.
Étape 2 — Conclure. \(z = 2i\) ou \(z = -2i\).
🔍 Vérification : \((2i)^2 = 4i^2 = -4\) ✓.
- ❌ Écrire \(z = \sqrt{-4}\). ✅ On n'écrit jamais \(\sqrt{}\) d'un nombre négatif : \(z = \pm 2i\).
- ❌ Oublier la solution \(-2i\). ✅ Il y a toujours deux solutions quand \(a \ne 0\).
Résous \(z^2 = -7\).
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\(-7 < 0\), donc \(z = i\sqrt{7}\) ou \(z = -i\sqrt{7}\).
\(z^2 = a\) avec \(a < 0\) : \(z = \pm i\sqrt{-a}\).
2 Équation du second degré à coefficients réels
Avec \(i\), le discriminant négatif ne bloque plus : on obtient deux solutions complexes conjuguées.
Soient \(a\), \(b\), \(c\) réels avec \(a \ne 0\), et \(\Delta = b^2 - 4ac\). L'équation \(az^2 + bz + c = 0\) a :
- si \(\Delta > 0\) : deux solutions réelles \(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) ;
- si \(\Delta = 0\) : une solution réelle \(-\dfrac{b}{2a}\) ;
- si \(\Delta < 0\) : deux solutions complexes conjuguées \[z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}.\] Dans tous les cas, \(az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)\).
L'idée en une phrase : la forme canonique de première reste valable dans \(\mathbb{C}\), et on utilise la partie 1.
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Étape 1 — Forme canonique. \(az^2 + bz + c = a\left[\left(z + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\) (même calcul qu'en première, valable pour \(z\) complexe).
Étape 2 — Si \(\Delta < 0\). L'équation revient à \(\left(z + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}\), avec \(\dfrac{\Delta}{4a^2} < 0\). D'après la partie 1, \(z + \dfrac{b}{2a} = \pm i\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\) (car \(\sqrt{4a^2} = 2|a|\) et le signe \(\pm\) couvre les deux cas).
Étape 3 — Conclure. \(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) ✓. Ces deux nombres sont conjugués, car \(a\), \(b\) et \(\Delta\) sont réels.
Étape 1 — Le discriminant. \(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 < 0\).
Étape 2 — Les solutions. \(\sqrt{-\Delta} = \sqrt{16} = 4\), donc \(z = \dfrac{2 \pm 4i}{2}\), soit \(\boxed{z_1 = 1 - 2i \text{ et } z_2 = 1 + 2i}\).
🔍 Vérification : \((1 + 2i)^2 - 2(1 + 2i) + 5 = (1 + 4i - 4) - 2 - 4i + 5 = 0\) ✓.
- ❌ Conclure « pas de solution » quand \(\Delta < 0\). ✅ Dans \(\mathbb{C}\), il y en a deux, conjuguées.
- ❌ Écrire \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) avec \(\Delta < 0\). ✅ On écrit \(i\sqrt{-\Delta}\) (\(\sqrt{-\Delta}\) est un réel positif).
- ❌ Appliquer ces formules à une équation à coefficients complexes. ✅ Le théorème suppose \(a\), \(b\), \(c\) réels (voir l'exercice 25 pour un cas complexe).
Résous \(z^2 + 6z + 10 = 0\).
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\(\Delta = 36 - 40 = -4\), \(\sqrt{-\Delta} = 2\), donc \(z = \dfrac{-6 \pm 2i}{2}\) : \(z = -3 - i\) ou \(z = -3 + i\).
\(\Delta < 0\) → \(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\), deux solutions conjuguées ; \(az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)\).
3 Factorisation de zⁿ − aⁿ
La différence de deux puissances \(n\)-ièmes se factorise toujours par la différence des nombres.
\(z^2 - a^2 = (z - a)(z + a)\) et \(z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)\). Le second facteur contient toutes les puissances « mélangées » de \(z\) et \(a\).
Pour tout complexe \(a\) et tout entier \(n \geqslant 1\), \[z^n - a^n = (z - a)\left(z^{n-1} + az^{n-2} + a^2z^{n-3} + \cdots + a^{n-2}z + a^{n-1}\right).\]
L'idée en une phrase : on développe le membre de droite et presque tout se simplifie.
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Étape 1 — Développer. \((z - a)\left(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1}\right) = \left(z^n + az^{n-1} + \cdots + a^{n-1}z\right) - \left(az^{n-1} + a^2z^{n-2} + \cdots + a^n\right)\).
Étape 2 — Simplifier. Chaque terme \(a^kz^{n-k}\) (pour \(1 \leqslant k \leqslant n - 1\)) apparaît une fois avec le signe \(+\) et une fois avec le signe \(-\) : il disparaît. Il reste \(z^n - a^n\) ✓.
Étape 1 — Factoriser. \(z^3 - 8 = z^3 - 2^3 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)\).
Étape 2 — Produit nul. \(z = 2\), ou \(z^2 + 2z + 4 = 0\) : \(\Delta = 4 - 16 = -12\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), donc \(z = -1 \pm i\sqrt{3}\).
Étape 3 — Conclure. \(\boxed{z \in \left\{2 \,;\, -1 - i\sqrt{3} \,;\, -1 + i\sqrt{3}\right\}}\).
🔍 Vérification : \(|-1 + i\sqrt{3}| = 2\) et \(\arg = \dfrac{2\pi}{3}\), donc \(\left(-1 + i\sqrt{3}\right)^3 = 8\,e^{2i\pi} = 8\) ✓.
- ❌ \(z^3 - 8 = (z - 2)^3\). ✅ \((z - 2)^3 = z^3 - 6z^2 + 12z - 8\) : ce n'est pas la même chose.
Factorise \(z^4 - 16\) par \(z - 2\).
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\(z^4 - 2^4 = (z - 2)(z^3 + 2z^2 + 4z + 8)\).
\(z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})\).
4 Racine et factorisation
Connaître une racine d'un polynôme permet de le factoriser, donc de baisser son degré.
Soit \(P\) un polynôme de degré \(n \geqslant 1\) et \(a\) un complexe. Si \(P(a) = 0\), alors il existe un polynôme \(Q\) de degré \(n - 1\) tel que, pour tout \(z\), \[P(z) = (z - a)\,Q(z).\]
L'idée en une phrase : on écrit \(P(z) = P(z) - P(a)\) et on utilise la partie 3 pour chaque puissance.
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Étape 1 — Soustraire. Comme \(P(a) = 0\) : \(P(z) = P(z) - P(a) = a_n(z^n - a^n) + a_{n-1}(z^{n-1} - a^{n-1}) + \cdots + a_1(z - a)\), car les termes constants \(a_0\) s'éliminent.
Étape 2 — Factoriser chaque terme. Chaque \(z^k - a^k\) se factorise par \(z - a\) (partie 3). On met donc \(z - a\) en facteur dans toute la somme : \(P(z) = (z - a)Q(z)\).
Étape 3 — Le degré. Le terme de plus haut degré de \(Q\) vient de \(a_n z^{n-1}\) : \(Q\) est de degré \(n - 1\) ✓.
On écrit \(P(z) = (z - a)(\alpha z^2 + \beta z + \gamma)\) (pour \(P\) de degré \(3\)), on développe, et on égale les coefficients des mêmes puissances de \(z\).
Étape 1 — Une racine évidente. \(P(1) = 1 - 3 + 4 - 2 = 0\).
Étape 2 — Identifier. \((z - 1)(\alpha z^2 + \beta z + \gamma) = \alpha z^3 + (\beta - \alpha)z^2 + (\gamma - \beta)z - \gamma\). On égale à \(z^3 - 3z^2 + 4z - 2\) : \(\alpha = 1\), \(\beta - \alpha = -3\) donc \(\beta = -2\), et \(-\gamma = -2\) donc \(\gamma = 2\) (et on contrôle \(\gamma - \beta = 4\) ✓).
Étape 3 — Conclure. \(P(z) = (z - 1)(z^2 - 2z + 2)\). Le second facteur a pour discriminant \(4 - 8 = -4\) : racines \(1 \pm i\). Donc \(\boxed{P(z) = 0 \iff z \in \{1 \,;\, 1 - i \,;\, 1 + i\}}\).
🔍 Vérification : \((1 + i)^3 = -2 + 2i\), et \((-2 + 2i) - 3(2i) + 4(1 + i) - 2 = 0\) ✓.
- ❌ Oublier le coefficient de contrôle dans l'identification. ✅ Il y a une équation de plus que d'inconnues : elle sert de vérification.
- ❌ Chercher une racine « évidente » au hasard. ✅ On teste d'abord \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(i\), \(-i\)… ou on utilise la racine donnée par l'énoncé.
Résous \(z^3 + z^2 + z + 1 = 0\), sachant que \(-1\) est racine.
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\(z^3 + z^2 + z + 1 = (z + 1)(z^2 + 1)\), donc \(z = -1\), \(z = i\) ou \(z = -i\).
\(P(a) = 0 \iff P(z) = (z - a)Q(z)\), avec \(Q\) de degré \(n - 1\) ; on trouve \(Q\) par identification.
5 Nombre de racines
Un polynôme ne peut pas avoir « trop » de racines.
Un polynôme de degré \(n \geqslant 1\) admet au plus \(n\) racines.
L'idée en une phrase : par récurrence sur le degré, en factorisant par une racine.
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Étape 1 — Degré \(1\). \(a_1z + a_0 = 0\) a une seule solution \(-\dfrac{a_0}{a_1}\) ✓.
Étape 2 — Hérédité. Supposons le résultat vrai au degré \(n\), et soit \(P\) de degré \(n + 1\). S'il n'a aucune racine, c'est fini. Sinon, soit \(a\) une racine : \(P(z) = (z - a)Q(z)\) avec \(Q\) de degré \(n\).
Étape 3 — Compter. Si \(P(b) = 0\), alors \((b - a)Q(b) = 0\), donc \(b = a\) ou \(Q(b) = 0\). Or \(Q\) a au plus \(n\) racines : \(P\) en a au plus \(n + 1\) ✓.
Si un polynôme à coefficients réels a une racine complexe \(z_0\), alors \(\overline{z_0}\) est aussi racine (car \(P\left(\overline{z_0}\right) = \overline{P(z_0)} = 0\), les coefficients étant réels). Les racines non réelles vont par paires conjuguées.
Résoudre \(z^4 + 3z^2 - 4 = 0\).
Étape 1 — Changement d'inconnue. On pose \(Z = z^2\) : \(Z^2 + 3Z - 4 = 0\), de discriminant \(9 + 16 = 25\), donc \(Z = 1\) ou \(Z = -4\).
Étape 2 — Revenir à \(z\). \(z^2 = 1\) donne \(z = \pm 1\) ; \(z^2 = -4\) donne \(z = \pm 2i\).
Étape 3 — Conclure. Quatre solutions : \(\boxed{1,\ -1,\ 2i,\ -2i}\) (le maximum pour un degré \(4\)).
🔍 Vérification : \((2i)^4 + 3(2i)^2 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0\) ✓.
- ❌ Croire qu'un polynôme de degré \(3\) a toujours trois racines distinctes. ✅ « Au plus » : \((z - 1)^3\) n'a qu'une racine.
Un polynôme à coefficients réels de degré \(3\) admet \(2\) et \(1 + i\) pour racines. Quelle est sa troisième racine ?
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Les coefficients étant réels, \(\overline{1 + i} = 1 - i\) est aussi racine ; c'est la troisième (un degré \(3\) en a au plus \(3\)).
Degré \(n\) → au plus \(n\) racines ; coefficients réels → racines non réelles conjuguées deux à deux.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Quelles sont les solutions de \(z^2 = -9\) ?
\(-9 < 0\) : \(z = \pm i\sqrt{9} = \pm 3i\), car \((3i)^2 = -9\).
Quelles sont les solutions de \(z^2 - 2z + 5 = 0\) ?
\(\Delta = 4 - 20 = -16\), donc \(z = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i\).
Revoir dans le cours : 2. Équation du second degré à coefficients réels
Vrai ou faux : une équation du second degré à coefficients réels et de discriminant négatif a deux solutions conjuguées.
Ce sont \(\dfrac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) et \(\dfrac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}\), conjuguées l'une de l'autre.
Revoir dans le cours : 2. Équation du second degré à coefficients réels
Quelle est la factorisation de \(z^3 - 8\) ?
\(z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)\) avec \(a = 2\).
\(P(z) = z^3 - 2z^2 + 4z - 8\) vérifie \(P(2) = 0\). Quelle est sa factorisation ?
Par identification, \((z - 2)(z^2 + 4) = z^3 - 2z^2 + 4z - 8\).
Combien de racines au plus un polynôme de degré \(4\) peut-il avoir ?
Réponse attendue : \(4\)
Un polynôme de degré \(n\) a au plus \(n\) racines.
Un polynôme à coefficients réels admet \(1 + i\) pour racine. Quel autre nombre est forcément racine ?
Les coefficients étant réels, \(P\left(\overline{z}\right) = \overline{P(z)}\) : le conjugué d'une racine est racine.
À revoir dans le cours :
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| \(z^2 = a\), \(a < 0\) | \(z = \pm i\sqrt{-a}\) |
| Second degré réel | \(\Delta = b^2 - 4ac\) ; si \(\Delta < 0\) : \(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) (conjuguées) |
| Factorisation | \(az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)\) |
| \(z^n - a^n\) | \((z - a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})\) |
| Racine | \(P(a) = 0 \iff P(z) = (z - a)Q(z)\), \(\deg Q = n - 1\) |
| Identification | développer et égaler les coefficients |
| Nombre de racines | au plus \(n\) pour un degré \(n\) |
| Coefficients réels | si \(z_0\) est racine, \(\overline{z_0}\) aussi |
| Bicarrée | poser \(Z = z^2\) |
Pièges à éviter
- Jamais de \(\sqrt{}\) d'un négatif : écrire \(i\sqrt{-\Delta}\).
- Les formules du discriminant supposent des coefficients réels.
- \(z^3 - a^3 \ne (z - a)^3\).
- Vérifier l'identification avec l'équation de contrôle.
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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Résous dans \(\mathbb{C}\) :
a) \(z^2 = -9\)
b) \(z^2 = -5\)
c) \(z^2 = 16\)
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\(z^2 = a\) avec \(a < 0\) donne \(z = \pm i\sqrt{-a}\).
a) \(\boxed{z = \pm 3i}\)
b) \(\boxed{z = \pm i\sqrt{5}}\)
c) \(\boxed{z = \pm 4}\)
🔍 Vérification : b) \(\left(i\sqrt{5}\right)^2 = i^2 \times 5 = -5\) ✓
Résous dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + 2z + 5 = 0\).
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\(\Delta\), puis formule.
\(\Delta = 4 - 20 = -16\), \(\sqrt{-\Delta} = 4\) : \(z = \dfrac{-2 \pm 4i}{2}\), soit \(\boxed{z = -1 - 2i \text{ ou } z = -1 + 2i}\).
🔍 Vérification : \((-1 + 2i)^2 + 2(-1 + 2i) + 5 = (1 - 4i - 4) - 2 + 4i + 5 = 0\) ✓
Résous dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 4z + 13 = 0\).
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même démarche.
\(\Delta = 16 - 52 = -36\), \(\sqrt{36} = 6\) : \(z = \dfrac{4 \pm 6i}{2}\), soit \(\boxed{z = 2 - 3i \text{ ou } z = 2 + 3i}\).
🔍 Vérification : somme \(4 = -\dfrac{b}{a}\) et produit \(4 + 9 = 13 = \dfrac{c}{a}\) ✓
Résous dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + z + 1 = 0\).
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même démarche.
\(\Delta = 1 - 4 = -3\) : \(\boxed{z = \dfrac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \text{ ou } z = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}}\).
🔍 Vérification : ces solutions sont de module \(1\) et d'arguments \(\pm\dfrac{2\pi}{3}\) ✓
Résous dans \(\mathbb{C}\) : \(2z^2 - 2z + 1 = 0\).
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attention au coefficient \(a = 2\).
\(\Delta = 4 - 8 = -4\), \(\sqrt{4} = 2\) : \(z = \dfrac{2 \pm 2i}{4}\), soit \(\boxed{z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i \text{ ou } z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i}\).
🔍 Vérification : produit des solutions \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{c}{a}\) ✓
Vérifie que \(1 + i\) et \(1 - i\) sont solutions de \(z^2 - 2z + 2 = 0\).
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remplacer et développer.
\((1 + i)^2 - 2(1 + i) + 2 = 2i - 2 - 2i + 2 = 0\) ✓ et \((1 - i)^2 - 2(1 - i) + 2 = -2i - 2 + 2i + 2 = 0\) ✓.
🔍 Vérification : les deux solutions sont conjuguées, comme prévu pour des coefficients réels ✓
Factorise \(z^2 + 9\) en produit de deux facteurs du premier degré.
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\(z^2 + 9 = z^2 - (3i)^2\).
\(\boxed{z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i)}\).
🔍 Vérification : \((z - 3i)(z + 3i) = z^2 - 9i^2 = z^2 + 9\) ✓
Factorise \(z^3 - 1\) par \(z - 1\).
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\(z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)\) avec \(a = 1\).
\(\boxed{z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)}\).
🔍 Vérification : \((z - 1)(z^2 + z + 1) = z^3 + z^2 + z - z^2 - z - 1 = z^3 - 1\) ✓
Soit \(P(z) = z^3 - 2z^2 + 4z - 8\).
a) Calcule \(P(2)\).
b) Factorise \(P(z)\) par \(z - 2\) et résous \(P(z) = 0\).
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racine, factorisation, second degré.
a) \(P(2) = 8 - 8 + 8 - 8 = \boxed{0}\).
b) \(P(z) = (z - 2)(z^2 + 4)\) (par identification : \((z - 2)(\alpha z^2 + \beta z + \gamma)\) donne \(\alpha = 1\), \(\beta = 0\), \(\gamma = 4\)). Donc \(\boxed{z \in \{2 \,;\, 2i \,;\, -2i\}}\).
🔍 Vérification : \((z - 2)(z^2 + 4) = z^3 + 4z - 2z^2 - 8\) ✓
Trouve des réels \(b\) et \(c\) tels que \(1 + 2i\) et \(1 - 2i\) soient les solutions de \(z^2 + bz + c = 0\).
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\(z^2 + bz + c = (z - z_1)(z - z_2)\).
\((z - 1 - 2i)(z - 1 + 2i) = (z - 1)^2 - (2i)^2 = z^2 - 2z + 1 + 4 = z^2 - 2z + 5\) : \(\boxed{b = -2,\ c = 5}\).
🔍 Vérification : \(\Delta = 4 - 20 = -16\) et les solutions sont \(1 \pm 2i\) ✓
Calcule le discriminant de \(z^2 - 6z + 10\) et résous \(z^2 - 6z + 10 = 0\).
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\(\Delta\) puis formule.
\(\Delta = 36 - 40 = \boxed{-4}\) : \(z = \dfrac{6 \pm 2i}{2}\), soit \(\boxed{z = 3 - i \text{ ou } z = 3 + i}\).
🔍 Vérification : \((3 + i)^2 - 6(3 + i) + 10 = (9 + 6i - 1) - 18 - 6i + 10 = 0\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
Résous \(z^3 + z^2 + z + 1 = 0\), sachant que \(-1\) est solution.
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factoriser par \(z + 1\).
\(z^3 + z^2 + z + 1 = z^2(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(z^2 + 1)\). Solutions : \(\boxed{-1,\ i,\ -i}\).
🔍 Vérification : \(i^3 + i^2 + i + 1 = -i - 1 + i + 1 = 0\) ✓
Résous \(z^3 - 3z^2 + 4z - 2 = 0\) (on cherchera une racine évidente).
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racine évidente \(1\), puis identification.
\(P(1) = 1 - 3 + 4 - 2 = 0\) ; \(P(z) = (z - 1)(z^2 - 2z + 2)\) ; \(\Delta = -4\). Solutions : \(\boxed{1,\ 1 - i,\ 1 + i}\).
🔍 Vérification : c'est l'exemple de la partie 4 ✓
Résous \(z^3 + 8 = 0\).
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racine évidente \(-2\), puis \(z^3 + 8 = (z + 2)(z^2 - 2z + 4)\).
\(z^2 - 2z + 4\) : \(\Delta = 4 - 16 = -12\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Solutions : \(\boxed{-2,\ 1 - i\sqrt{3},\ 1 + i\sqrt{3}}\).
🔍 Vérification : \((z + 2)(z^2 - 2z + 4) = z^3 - 2z^2 + 4z + 2z^2 - 4z + 8 = z^3 + 8\) ✓
Factorise \(z^4 - 1\) et résous \(z^4 = 1\).
Voir la correction›
\(z^4 - 1 = (z^2 - 1)(z^2 + 1)\).
\(z^4 - 1 = (z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i)\) : solutions \(\boxed{1,\ -1,\ i,\ -i}\).
🔍 Vérification : \(i^4 = 1\) ✓ ; ce sont les quatre racines quatrièmes de l'unité ✓
Résous \(z^4 + 3z^2 - 4 = 0\).
Voir la correction›
poser \(Z = z^2\).
\(Z^2 + 3Z - 4 = 0\) : \(Z = 1\) ou \(Z = -4\). Donc \(\boxed{z \in \{1 \,;\, -1 \,;\, 2i \,;\, -2i\}}\).
🔍 Vérification : c'est l'exemple de la partie 5 ✓
Résous \(z^4 + 5z^2 + 4 = 0\).
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\(Z = z^2\).
\(Z^2 + 5Z + 4 = 0\) : \(\Delta = 9\), \(Z = -1\) ou \(Z = -4\). Donc \(\boxed{z \in \{i \,;\, -i \,;\, 2i \,;\, -2i\}}\).
🔍 Vérification : \((2i)^4 + 5(2i)^2 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0\) ✓
a) Vérifie que \(1\) est racine de \(P(z) = z^3 - 7z + 6\).
b) Détermine \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(P(z) = (z - 1)(az^2 + bz + c)\).
c) Résous \(P(z) = 0\).
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identification des coefficients.
a) \(P(1) = 1 - 7 + 6 = 0\) ✓.
b) \((z - 1)(az^2 + bz + c) = az^3 + (b - a)z^2 + (c - b)z - c\). On égale à \(z^3 + 0z^2 - 7z + 6\) : \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\) (contrôle : \(c - b = -7\) ✓). \(\boxed{P(z) = (z - 1)(z^2 + z - 6)}\).
c) \(z^2 + z - 6 = (z - 2)(z + 3)\) : solutions \(\boxed{1,\ 2,\ -3}\).
🔍 Vérification : \((-3)^3 - 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0\) ✓
Résous \(z^3 - 4z^2 + 9z - 10 = 0\), sachant que \(2\) est solution.
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factoriser par \(z - 2\).
Par identification, \(P(z) = (z - 2)(z^2 - 2z + 5)\) ; \(\Delta = 4 - 20 = -16\). Solutions : \(\boxed{2,\ 1 - 2i,\ 1 + 2i}\).
🔍 Vérification : \((z - 2)(z^2 - 2z + 5) = z^3 - 4z^2 + 9z - 10\) ✓
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels.
a) Montre que, pour tout complexe \(z\), \(\overline{P(z)} = P\left(\overline{z}\right)\).
b) Déduis-en que si \(z_0\) est racine de \(P\), alors \(\overline{z_0}\) aussi.
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propriétés du conjugué (somme, produit, puissance) et \(\overline{a_k} = a_k\).
a) \(\overline{P(z)} = \overline{a_nz^n + \cdots + a_0} = \overline{a_n}\,\overline{z}^{\,n} + \cdots + \overline{a_0} = a_n\overline{z}^{\,n} + \cdots + a_0 = P\left(\overline{z}\right)\), car les coefficients sont réels ✓.
b) Si \(P(z_0) = 0\), alors \(P\left(\overline{z_0}\right) = \overline{P(z_0)} = \overline{0} = 0\) ✓.
🔍 Vérification : exercices 2 à 5 : les solutions sont bien conjuguées ✓
Factorise \(z^5 - 32\) par \(z - 2\) et vérifie en développant.
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\(z^5 - 2^5 = (z - 2)(z^4 + 2z^3 + 4z^2 + 8z + 16)\).
\(\boxed{z^5 - 32 = (z - 2)(z^4 + 2z^3 + 4z^2 + 8z + 16)}\).
Développement : \(z^5 + 2z^4 + 4z^3 + 8z^2 + 16z - 2z^4 - 4z^3 - 8z^2 - 16z - 32 = z^5 - 32\) ✓.
🔍 Vérification : les termes intermédiaires s'annulent deux à deux ✓
a) Déduis de la factorisation de \(z^n - 1\) que, pour \(z \ne 1\), \(1 + z + z^2 + \cdots + z^{n-1} = \dfrac{z^n - 1}{z - 1}\).
b) Calcule \(1 + i + i^2 + \cdots + i^7\) avec cette formule.
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factorisation de \(z^n - 1^n\), puis division par \(z - 1 \ne 0\).
a) \(z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + \cdots + z + 1)\) ; pour \(z \ne 1\), on divise : \(1 + z + \cdots + z^{n-1} = \dfrac{z^n - 1}{z - 1}\) ✓.
b) Avec \(z = i\) et \(n = 8\) : \(\dfrac{i^8 - 1}{i - 1} = \dfrac{1 - 1}{i - 1} = \boxed{0}\).
🔍 Vérification : \(1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 - i = 0\) ✓
a) Résous \(z^2 - 4z + 13 = 0\).
b) Calcule la somme et le produit des solutions. Compare avec \(-\dfrac{b}{a}\) et \(\dfrac{c}{a}\).
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résoudre, puis comparer avec les coefficients.
a) \(z = 2 \pm 3i\) (exercice 3).
b) Somme \(= 4 = -\dfrac{-4}{1}\) ; produit \(= (2 - 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13 = \dfrac{13}{1}\). On retrouve \(z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(z_1z_2 = \dfrac{c}{a}\) (relations de Viète).
🔍 Vérification : en développant \((z - z_1)(z - z_2) = z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2\) ✓
Trouve une équation du second degré à coefficients réels dont \(3 - 2i\) est solution.
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avec des coefficients réels, le conjugué \(3 + 2i\) est aussi solution.
\((z - 3 + 2i)(z - 3 - 2i) = (z - 3)^2 - (2i)^2 = z^2 - 6z + 9 + 4\) : \(\boxed{z^2 - 6z + 13 = 0}\).
🔍 Vérification : \(\Delta = 36 - 52 = -16\) et \(z = 3 \pm 2i\) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
On veut résoudre \(z^2 + z + (1 - i) = 0\).
a) Calcule \(\Delta = 1 - 4(1 - i)\) et vérifie que \(\Delta = (1 + 2i)^2\).
b) En adaptant la méthode du second degré, montre que les solutions sont \(\dfrac{-1 \pm (1 + 2i)}{2}\).
c) Donne ces solutions sous forme algébrique et vérifie-les.
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forme canonique, valable dans \(\mathbb{C}\), avec une racine carrée complexe de \(\Delta\).
a) \(\Delta = 1 - 4 + 4i = -3 + 4i\), et \((1 + 2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i\) ✓.
b) \(z^2 + z + (1 - i) = \left(z + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4} = \left(z + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{1 + 2i}{2}\right)^2\), produit nul : \(z + \dfrac{1}{2} = \pm\dfrac{1 + 2i}{2}\), donc \(z = \dfrac{-1 \pm (1 + 2i)}{2}\).
c) \(z = \dfrac{2i}{2} = \boxed{i}\) ou \(z = \dfrac{-2 - 2i}{2} = \boxed{-1 - i}\). Vérifications : \(i^2 + i + 1 - i = 0\) ✓ et \((-1 - i)^2 + (-1 - i) + 1 - i = 2i - 1 - i + 1 - i = 0\) ✓.
🔍 Vérification : les deux solutions ne sont pas conjuguées : normal, les coefficients ne sont pas tous réels ✓
a) Rédige la démonstration par récurrence : « un polynôme de degré \(n \geqslant 1\) a au plus \(n\) racines ».
b) Déduis-en que si deux polynômes de degré au plus \(n\) prennent les mêmes valeurs en \(n + 1\) points distincts, ils sont égaux.
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récurrence (partie 5), puis appliquer au polynôme différence.
a) Voir la démonstration de la partie 5 : initialisation au degré \(1\), puis factorisation par une racine et application de l'hypothèse au quotient de degré \(n\).
b) Si \(P\) et \(Q\) (de degré au plus \(n\)) sont égaux en \(n + 1\) points, le polynôme \(P - Q\) s'annule en ces \(n + 1\) points. S'il n'était pas nul, il serait de degré au plus \(n\) et aurait au plus \(n\) racines : contradiction. Donc \(P - Q\) est le polynôme nul et \(P = Q\).
🔍 Vérification : par exemple, une fonction affine est déterminée par ses valeurs en \(2\) points ✓
Un polynôme \(P(z) = z^3 + az^2 + bz + c\) à coefficients réels admet \(2\) et \(1 + i\) pour racines.
a) Quelle est sa troisième racine ?
b) Détermine \(a\), \(b\) et \(c\).
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coefficients réels → racine conjuguée ; puis développer.
a) \(\boxed{1 - i}\).
b) \(P(z) = (z - 2)(z - 1 - i)(z - 1 + i) = (z - 2)(z^2 - 2z + 2) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4\) : \(\boxed{a = -4,\ b = 6,\ c = -4}\).
🔍 Vérification : \(P(2) = 8 - 16 + 12 - 4 = 0\) ✓
Au XVIe siècle, Bombelli étudie \(z^3 = 15z + 4\). La formule de Cardan fait apparaître des racines carrées de nombres négatifs, alors que l'équation a une solution réelle simple.
a) Vérifie que \(4\) est solution.
b) Résous complètement l'équation.
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vérifier, puis factoriser par \(z - 4\).
a) \(4^3 = 64\) et \(15 \times 4 + 4 = 64\) ✓.
b) \(z^3 - 15z - 4 = (z - 4)(z^2 + 4z + 1)\) (identification). \(z^2 + 4z + 1\) : \(\Delta = 16 - 4 = 12 > 0\), donc \(z = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}\). Solutions : \(\boxed{4,\ -2 - \sqrt{3},\ -2 + \sqrt{3}}\), toutes réelles.
🔍 Vérification : somme des racines \(4 + (-4) = 0\) : il n'y a pas de terme en \(z^2\) ✓
Les trois solutions sont réelles, mais la formule de Cardan passe par \(\sqrt{-121}\). C'est en acceptant de calculer avec ces « nombres impossibles » que Bombelli retrouva \(4\) : les complexes sont nés comme un outil de calcul.
a) Résous \(z^3 = 1\).
b) On note \(j\) la solution de partie imaginaire positive. Écris \(j\) sous forme exponentielle et vérifie que les trois solutions sont \(1\), \(j\) et \(j^2\).
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\(z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)\).
a) Solutions : \(\boxed{1,\ -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\ -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i}\) (exercice 4 pour le second facteur).
b) \(j = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = e^{2i\pi/3}\). Alors \(j^2 = e^{4i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) : c'est la troisième solution. Et \(j^3 = e^{2i\pi} = 1\) ✓.
🔍 Vérification : les trois points forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité ✓
Soit \(P(z) = z^4 - 2z^3 + 6z^2 - 8z + 8\).
a) Calcule \(P(2i)\). Que peut-on en déduire pour \(-2i\) ?
b) Justifie que \(P(z)\) se factorise par \(z^2 + 4\) et trouve l'autre facteur.
c) Résous \(P(z) = 0\).
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racine, racine conjuguée, factorisation par le produit des deux facteurs.
a) \(P(2i) = 16 - 2(-8i) + 6(-4) - 16i + 8 = 16 + 16i - 24 - 16i + 8 = \boxed{0}\). Les coefficients étant réels, \(-2i = \overline{2i}\) est aussi racine.
b) \(P(z)\) se factorise par \(z - 2i\) et par \(z + 2i\), donc par \((z - 2i)(z + 2i) = z^2 + 4\). Par identification, \(P(z) = (z^2 + 4)(z^2 + \beta z + \gamma)\) avec \(\beta = -2\) et \(\gamma = 2\) : \(\boxed{P(z) = (z^2 + 4)(z^2 - 2z + 2)}\).
c) Solutions : \(\boxed{2i,\ -2i,\ 1 + i,\ 1 - i}\).
🔍 Vérification : \((z^2 + 4)(z^2 - 2z + 2) = z^4 - 2z^3 + 2z^2 + 4z^2 - 8z + 8 = z^4 - 2z^3 + 6z^2 - 8z + 8\) ✓
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